勒让德多项式生成函数相关等式与积分的证明求助

问题内容 #

我现在需要完成以下关于勒让德多项式的证明任务：

• 写出勒让德多项式的生成函数；
• 从生成函数出发证明递推公式：
  $$(2n+1)P_{n}(x)=P'{n+1}(x)-P'{n-1}(x),$$
• 进而证明积分等式：
  $$\int_{-1}^{{1}xP_n(x)P_{n-1}(x)dx=\frac{2n}{4n}2-1},n=1,2,3,\cdots$$

注：这里的$P_n(x)$表示n次勒让德多项式。

我的尝试过程 #

首先，我已经明确勒让德多项式$P_n(x)$的生成函数$G(x,t)$是：
$$(1-2xt+t²⁾{-\frac 12}=\sum_{n=0}^{{\infty}P_n(x)t}n.$$

接下来我对生成函数做了求导操作：

对x和t分别求导 #

1. 对x求导后得到：
   $$t(1-2xt+t²⁾{-\frac 32}=\sum_{n=0}^{{\infty}P'_n(x)t}n\tag 1.$$
2. 对t求导后得到：
   $$(1-2xt+t²⁾{-\frac 32}(x-t)=\sum_{n=0}^{{\infty}P_n(x)nt}{n-1}\tag 2.$$

联立导数等式 #

我把式(2)两边乘以t，得到：
$$t(1-2xt+t²⁾{-\frac 32}(x-t)=\sum_{n=0}^{{\infty}P_n(x)nt}{n}.$$
然后用式(1)替换左边的$t(1-2xt+t²⁾{-\frac 32}$，将等式改写为：
$$x\sum_{n=0}^{{\infty}P'_n(x)t}n-\sum_{n=0}^{{\infty}P'_n(x)t}{n+1}=\sum_{n=0}^{{\infty}P_n(x)nt}{n}.$$

遇到的困难 #

到这里我就卡住了，不知道怎么继续往下推导。后来在@Gonçalo的提示下，我成功证明了那个递推公式$(2n+1)P_{n}(x)=P'{n+1}(x)-P'{n-1}(x)$，但现在还是找不到思路，没法利用这个递推公式和上面的等式来证明最后的积分结论，希望能得到大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley