关于勒让德微分方程在x→∞处解的性质及无穷远点级数解的技术问询

问题描述 #

我最近碰到一个有点奇怪的问题，具体内容如下：

确定微分方程 $(1-x^2)\frac{d2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+12y=0$ 在 $x=\infty$ 处解的性质，若存在的话，求出该方程在无穷远点的级数解。

我的初步分析 #

我一眼就认出这个方程是勒让德微分方程，它的标准形式为：
$$(1-x^2)\frac{d2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0$$
我记得它的通解是这样的：
$$y=c_0\left(1-\frac{n(n+1)}{2}x^{2-\frac{c_0n(n+1)(6-n(n+1))}{24}x}4+\cdots\right)+c_1\left(x+\frac{(2-n(n+1))}{6}x^3 +\cdots\right)\tag 1$$
其中 $c_0$ 和 $c_1$ 是任意常数。

对应题目里的方程，很容易算出 $n=3$，理论上把 $n=3$ 代入式(1)就能得到方程的通解。

我的困惑之处 #

不过我始终想不通两个点：

• 第一个，题目问的“$x=\infty$ 处解的性质”，难道是指当 $x\to\infty$ 时 $y$ 趋向于无穷大吗？除此之外我实在想不到其他合理的解释。
• 第二个，“无穷远点的级数解”这个说法完全让我摸不着头脑。毕竟 $\infty$ 不是一个实际存在的实数点，我们平时求级数解都是针对某个具体的实数点——要么是普通点，要么是正则奇点，这个“无穷远点的级数解”到底指的是什么呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley