半鞅Grönwall不等式证明求助：非降càdlàg过程下的上界推导

各位大佬好，我现在正试着证明如下版本的Grönwall不等式：

假设存在非降的càdlàg过程$C$，使得
$$0 \leq A_t \leq \alpha + \int_0^t A_{s-}dC_s$$
需要证明
$$A_t \leq \alpha e^{C_t}$$

我的证明尝试： #

受到其他Grönwall不等式证明思路的启发，我想找一个不依赖于$A$的$\int A_{s-}dC_s$上界，打算巧妙利用变量替换公式（也就是伊藤公式）和分部积分来实现。比如，对$e^{-C_t}$应用变量替换公式可以得到：
$$ e^{-C_t} = e^{-C_0} - \int_{0^+}t e^{-C_{s-}}dC_s +\sum_{0 < s \leq t} \Big( \Delta e^{-C_s} + e^{-C_{s-}}\Delta C_s \Big)$$

接着用分部积分，得到：
$$e^{{-C_t}\int_{0+}}t A_{s-}dC_s = \int_{0^+}t e^{-C_{s-}}A_{s-}dC_s + \int_{0+}^t \int_{0+}^{s-} A_{u-}dC_u d(e^{-C_s}) + [e^{{-C},\int_{0+}}{\cdot} A_{s-}dC_s]_t$$

进一步整理后：
$$= \int_{0^+}t e^{-C_{s-}}(A_{s-} - \int_{0+}^{s-} A_{u-}dC_u)dC_s + \sum_{0<s\leq t} \int_{0+}^{s-}A_{u-}dC_u \Big( \Delta e^{-C_s} + e^{-C_{s-}}\Delta C_s \Big) + [e^{{-C},\int_{0+}}{\cdot} A_{s-}dC_s]_t$$

根据题设条件，右边第一项可以被$\alpha\int_{0+}^t e^{-C_{s-}}dC_s$上界估计，这一项确实不依赖于$A$。但现在我卡在了处理剩下的两项上……有没有大佬能给点提示或者帮助呀？

补充编辑： #

我意识到二次变差$[e^{{-C},\int_{0+}}{\cdot} A_{s-}dC_s] \leq 0$，因为这是一个非增过程和非降过程的二次变差，应该是非增的。

另外，这个问题来自Protter的《Stochastic Integration and Differential Equations》第五章第14题，第358页。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者northwiz