去毛刺策略中带前角的固定轴倒角刀刀位点计算方法问询

几何原理解释 #

• 核心约束逻辑：圆台刀具与工件边缘的有效切点必须同时满足两个刚性几何条件：
  1. 切点落在圆台的圆锥切削面上（圆台可视为截顶圆锥，其圆锥面由刀具锥角、前角、轴线方向唯一确定）；
  2. 工件边缘在切点处的法向量，与圆锥面在该点的法向量共线——这是保证刀具与工件相切、无过切/欠切的核心条件。
• 多解的筛选依据：加入前角后，圆锥面相对于工件边缘的姿态偏移会产生多个理论切点，但加工场景下的最优解需结合进给方向判定：
  • 最优切点必须处于圆台的有效切削刃区间（即靠近圆台小端的切削区域，避免非切削的锥面接触工件）；
  • 同时，切点到刀具轴线的距离需严格匹配圆台对应高度的半径值（由锥度与前角共同推导）。

具体求解算法 #

1. 坐标系与参数定义 #

以工件边缘点为原点$O$，建立局部坐标系：

• 进给方向为$X$轴：$\vec{f}=(1,0,0)$（单位向量）
• 工件法向量为$Z$轴：$\vec{n}=(0,0,1)$（单位向量）
• 刀具轴线方向向量：$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$（已单位化）
• 刀具参数：圆台小端半径$r_1$、大端半径$r_2$、高度$h$、前角$\gamma$（切削刃与轴线的夹角偏移量）

2. 推导圆台圆锥面参数方程 #

先推导圆台对应的完整圆锥顶点$V$的位置（前角会导致顶点偏移），再写出圆锥面的参数方程：
$$\vec{P}(u,v) = \vec{V} + v \cdot (\cos\gamma \cdot \vec{u} + \sin\gamma \cdot \vec{t})$$
其中：

• $\vec{u}$是垂直于刀具轴线$\vec{a}$的单位向量；
• $\vec{t}$是进给方向$\vec{f}$在垂直于$\vec{a}$平面内的投影单位向量；
• $v$为圆锥顶点到切点的轴向距离；
• $u$为圆周方向角度参数。

3. 联立约束方程求解切点 #

联立以下两个约束方程，求解切点坐标：

1. 相切约束：圆锥面在切点$\vec{P}$处的法向量$\vec{N}$与工件法向量$\vec{n}$共线，即$\vec{N} = k \cdot \vec{n}$（$k$为非零常数）；
2. 位置约束：切点$\vec{P}$需落在工件边缘的加工余量范围内（或与边缘点共面，由工艺要求确定）。

从方程的解集中筛选最优解，需满足：

• 切点处于圆台的有效高度区间内（$v$的取值对应圆台高度$[0,h]$）；
• 切点在进给方向上的投影符合加工路径的连续性要求（避免刀具姿态突变）。

4. 计算最终刀位点 #

刀位点为刀具轴线与圆台指定端面（通常为小端，依工艺而定）的交点，由切点位置推导：
$$\vec{C} = \vec{P} - d \cdot \vec{a}$$
其中$d$为切点到刀位点的轴向距离，由圆台半径与锥角的关系计算：$d = \frac{r - r_1}{\tan\alpha}$，$\alpha = \arctan\left(\frac{r_2 - r_1}{h}\right)$为圆台的锥角，$r$为切点处的圆台半径。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Loong