一维有界区间上函数的迹相关疑问

这个问题问得很关键，先直接给结论：仅仅知道$|f_n'|_{L^2(0,1)} \leq C$，不足以推出$|f_n(0)|$一致有界。

反例说明 #

最简单的反例就是取$f_n(x) = n$对所有$x\in(0,1)$，这时候$f_n'(x)=0$，显然$|f_n'|{L^2}=0\leq C$，但$f_n(0)=n$会随着$n$趋向无穷大，完全无界。再比如非平凡的例子，$f_n(x) = n + x$，导数$f_n'(x)=1$，$|f_n'|{L^2}=1$满足有界条件，但$f_n(0)=n$依然无界。

关于迹定理的理解 #

你提到的迹定理是对的，但要注意迹定理的前提是**函数属于$H^{1(\Omega)$**——也就是不仅导数的$L}2$范数有界，函数本身的$L^{2$范数也得有界（$H}1$范数是$|u|{L^2} + |u'|{L^2}$的等价范数）。而你现在只给了导数的有界性，函数可以有一个任意大的常数偏移项，这个偏移项不会影响导数，但会直接让$f_n(0)$的值失控。

针对边界零测度的困惑解答 #

在一维的情况其实很特殊：$H^{1((0,1))$中的每个函数都是绝对连续的（因为导数$L}2$可积，自然$L^{1$可积，而绝对连续函数的充要条件是导数$L}1$可积且满足微积分基本定理），所以它们都可以唯一延拓到闭区间$[0,1]$上成为连续函数。这时候“迹”就是延拓后函数在0或1点的取值，是有明确定义的，不用担心边界零测度的问题——因为这里的迹不是$L^{p(\partial\Omega)$意义下的（毕竟单点集的$L}p$范数就是函数值的绝对值），而是连续延拓后的点值。

补充：加上函数$L^2$有界后的情况 #

如果我们额外加上$|f_n|{L^2(0,1)} \leq C'$（也就是$f_n$在$H^1((0,1))$中一致有界），那就能推出$|f_n(0)|$一致有界了。用微积分基本定理就能推导：
对任意$x\in(0,1)$，有
$$
f_n(x) = f_n(0) + \int_0^x f_n'(t)dt
$$
变形得
$$
f_n(0) = f_n(x) - \int_0^x f_n'(t)dt
$$
两边取绝对值后对$x$在$(0,1)$积分：
$$
|f_n(0)| = \int_0^1 |f_n(0)|dx \leq \int_0^1 |f_n(x)|dx + \int_0^1 \left|\int_0^x f_n'(t)dt\right|dx
$$
右边第一项用Holder不等式可得：
$$
\int_0^1 |f_n(x)|dx \leq |f_n|{L^2} \cdot |1|{L^2} \leq C'
$$
第二项交换积分顺序后再用Holder不等式：
$$
\int_0^1 \left|\int_0^x f_n'(t)dt\right|dx \leq \int_0^1 |f_n'(t)| \int_t^1 dx dt = \int_0^1 |f_n'(t)|(1-t)dt \leq |f_n'|{L^2} \cdot |1-t|_{L^2} \leq C \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}
$$
所以最终有
$$
|f_n(0)| \leq C' + \frac{C}{\sqrt{2}}
$$
确实是一致有界的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者duelspace