图$C_n \times P_n$（$n\ge 3$）的平面性判定问题问询

我最近在研究图$C_n \times P_n$（$n\ge 3$）的平面性问题，有一些初步思路但还没完全理清，想和大家交流探讨：

• 我的第一直觉是，当$n=3$和$n=5$时，这个新图可能不是平面图——它或许包含与$K_{3,3}$或$K_5$同构的子图，但我不确定该怎么证明这一点。如果这个猜想成立的话，那我们可能还需要排除$n$是3或5的倍数的情况。
• 后来我又想到，既然我们已经知道组成这个图的两个原图的性质，或许可以用欧拉公式来分析：通过证明对于某些特定的$n$，平面图的必要条件$m \le 3n - 6$不成立，从而判定它不是平面图。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Steve M.