求解同余方程5ˣ ≡ 3 mod 2017的整数解x

嘿，你的思路方向是对的——用原根解离散对数方程确实是这类问题的标准路数，但其实不用深入复杂的原根计算，我们先通过一个简单的模小整数验证就能快速判断结果：

• 先看模4的情况：2017除以4余1，所以5≡1 mod4，3≡3 mod4。方程左边5^x ≡1^x=1 mod4，右边是3≡3 mod4，显然1≠3，这直接说明原方程没有整数解。

你提到用计算机算出x=1030，应该是计算出错了，我们可以手动验证一下：5^1030 mod4=1^1030=1，而3 mod4=3，两者明显不相等，这个结果肯定不对。

如果一定要顺着原根的思路展开分析，我们也可以补全逻辑：

1. 2017是质数，所以模2017的乘法群是阶为2016=2⁵×3²×7的循环群。
2. 对于离散对数方程a^x≡b mod p（p为质数），有解的前提是b能被a生成的群包含。但这里5的任何次幂模4都是1，而3模4是3，1永远无法等于3，这就从根源上否定了解的存在。
3. 补充个小细节：之前我误以为5是模2017的原根，但其实当p≡1 mod4时，原根模4必须是3（因为原根的(p-1)/2次方要≡-1 modp，而1的任何次方都是1，不可能等于-1），所以5≡1 mod4，根本不可能是模2017的原根，这也侧面验证了它生成不了模4为3的数3。

总结下来，这个方程没有整数解，你之前的计算机结果应该是计算失误啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者noname