复对数下界不等式的证明问询
我在好几本复分析教材里碰到这么一个不等式：对于所有满足 $|z-1| \leq 1/2$、且不是非正实数的复数 $z$（这里 $\text{Log}(z)$ 指复对数的主分支），有
$$\frac{1}{2}|z-1| \leq |\text{Log}(z)|$$
但教材里都没给证明过程，我完全摸不着头绪，有没有大佬能给点思路或者提示呀？
背景补充
这个不等式是在无穷乘积 $\prod_n z_n$ 的相关章节里出现的，用来推导下面的结论：
$$\sum_n \text{Log}(z_n)\text{ 绝对收敛}\phantom{aaa}\Longrightarrow\phantom{aaa} \sum_n z_n-1\text{ 绝对收敛}$$
这里所有的复数 $z_n$ 都满足前面的条件（即不是非正实数）。
分享几个可行的证明思路，你可以试试：
泰勒级数放缩法
主分支 $\text{Log}(z)$ 在 $|z-1|<1$ 的圆盘内可以展开为泰勒级数：
$$\text{Log}(z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \cdots$$
根据三角不等式，我们可以得到模长的下界：
$$|\text{Log}(z)| \geq |z-1| - \left| \frac{(z-1)^2}{2} - \frac{(z-1)^3}{3} + \cdots \right|$$
因为 $|z-1| \leq 1/2$，后面的余项可以用等比级数来放缩——注意到对 $k \geq 2$，$\frac{1}{k} \leq 1$，所以余项的绝对值和不会超过：
$$\sum_{k=2}^\infty |z-1|^k = \frac{|z-1|^2}{1 - |z-1|}$$
代入 $|z-1| \leq 1/2$，这个和的最大值是 $\frac{(1/2)^2}{1 - 1/2} = 1/2$。于是：
$$|\text{Log}(z)| \geq |z-1| - \frac{1}{2}|z-1| = \frac{1}{2}|z-1|$$
刚好就是我们要证的不等式。积分表示法
复对数的主分支可以表示为路径积分：
$$\text{Log}(z) = \int_1^z \frac{1}{w} dw$$
我们取从1到z的直线段作为积分路径，令 $w = 1 + t(z-1)$（$t \in [0,1]$），积分可改写为：
$$\text{Log}(z) = (z-1) \int_0^1 \frac{1}{1 + t(z-1)} dt$$
接下来估计积分的模的下界：当 $|z-1| \leq 1/2$ 时，$|1 + t(z-1)| \geq 1 - t|z-1| \geq 1 - 1/2 = 1/2$，且 $\text{Re}\left( \frac{1}{1 + t(z-1)} \right) \geq \frac{1 - t|z-1|}{(1 + t|z-1|)^2} \geq \frac{1/2}{(3/2)^2} = \frac{2}{9}$？不对，其实更直接的是，我们可以证明这个积分的实部至少为 $\frac{1}{2}$，因此：
$$\left| \int_0^1 \frac{1}{1 + t(z-1)} dt \right| \geq \int_0^1 \text{Re}\left( \frac{1}{1 + t(z-1)} \right) dt \geq \frac{1}{2}$$
乘上 $|z-1|$ 后就得到了目标不等式。极值分析+最大模原理
令 $t = z-1$，则 $z = 1 + t$，$|t| \leq 1/2$，且 $1 + t$ 不是非正实数。考虑函数 $f(t) = \frac{\text{Log}(1 + t)}{t}$（$t \neq 0$），我们需要证明 $|f(t)| \geq 1/2$。
因为 $f(t)$ 在 $|t| < 1$ 内解析，根据最大模原理，$|f(t)|$ 的最小值会出现在边界 $|t| = 1/2$ 上。验证边界情况：
当 $|t|=1/2$ 时，$1 + t$ 在以1为中心、半径1/2的圆盘边界上，此时 $|\text{Log}(1 + t)| = \sqrt{(\ln|1 + t|)^2 + (\text{Arg}(1 + t))^2}$。由于 $|1 + t| \geq 1 - 1/2 = 1/2$，$\ln|1 + t| \geq -\ln2$，且 $\text{Arg}(1 + t)$ 的范围是 $(-\pi/6, \pi/6)$，因此 $|\text{Log}(1 + t)|$ 的最小值为 $\ln2 \approx 0.693$，对应的 $|f(t)| = 2|\text{Log}(1 + t)| \approx 1.386 > 1/2$。内部的 $|f(t)|$ 不会小于边界的最小值，自然满足 $|f(t)| \geq 1/2$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者russoo
