关于纤维上积分良定义性的证明问询

我最近在学习Bott和Tu定义的定向秩n实向量丛$E\rightarrow M$（其中M是光滑流形）上的纤维积分，目前卡在了证明这个积分是良定义的环节——也就是要验证：当用不同的局部平凡化表示同一个全局形式时，纤维积分的结果在平凡化的重叠区域是一致的。

先简单回顾一下Bott和Tu给出的定义：

• 取局部平凡化$\phi_\alpha: E|{U\alpha}\rightarrow U_\alpha\times \mathbb{R}^{n$，其中$U_\alpha$上有局部坐标$x}i$，$\mathbb{R}^{n$上有坐标$t}1,\dots,t^n$。
• 每个带垂直紧支集的k-形式$\omega$，在$\pi^{-1}(U_\alpha)$上可以写成两类局部形式的线性组合：
  1. 第一类：$\omega=\pi^{*(\phi)f(x,t)dt}{i_1}\wedge \cdots \wedge dt^{i_r}$，这里$r<n$，$\phi$是$U_\alpha$上的微分形式，$f(x,t)$对每个固定的$x$都有紧支集；
  2. 第二类：$\omega=\pi^{*(\phi)f(x,t)dt}{1}\wedge \cdots \wedge dt^{n}$，形式和第一类类似，但取遍了所有纤维坐标的外积。
• 纤维积分$\pi_$的定义很直接：把第一类形式映射到0；对第二类形式，定义$\pi_(\omega) = \phi\int_{\mathbb{R}^n}f(x,t)dt1\cdots dt^n$。

我的核心问题是：假设有两个平凡化$\phi_\alpha$和$\phi_\beta$，$\omega$在$\pi^{{-1}(U_\alpha)$上的局部表示是$\omega_\alpha$，在$\pi}{-1}(U_\beta)$上的局部表示是$\omega_\beta$，要证明在$U_\alpha\cap U_\beta$上，$\pi_(\omega_\alpha)=\pi_(\omega_\beta)$。

我自己的初步尝试 #

我知道$\omega$是全局定义的形式，所以在$\pi^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$上必然有$\omega_\alpha|{\pi^{-1}(U\alpha\cap U_\beta)}=\omega_\beta|{\pi^{-1}(U\alpha\cap U_\beta)}$。一开始我想直接把积分写成拉回形式的积分来推导，但总觉得这个写法太粗糙，应该利用向量丛的转移函数来做，可一直被繁杂的符号绕得晕头转向。

后来我试着把思路细化了一下，想让推导更严谨：
因为拉回映射$\pi^*:\Omega(M)\rightarrow \Omega^(E)$是单射，所以我们可以聚焦于$\pi_(\omega_\alpha)$和$\pi_(\omega_\beta)$的表达式：

• $\pi_*(\omega_\alpha)=\phi\int_{\mathbb{R}^n}f(x,t)dt1\wedge\cdots\wedge dt^n$
• $\pi_*(\omega_\beta)=\tau\int_{\mathbb{R}^n}g(y,s)ds1\wedge\cdots\wedge ds^n$

这里的积分部分是$U_\alpha$和$U_\beta$上的光滑函数，$\phi$和$\tau$是对应开集上的微分形式。不妨假设$\phi$和$\tau$都是m次形式，把它们展开成坐标形式：
$$\phi=\phi_{i_1\cdots i_m}dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_m}, \quad \tau=\tau_{i_1\cdots i_m}dy^{i_1}\wedge \cdots \wedge dy^{i_m}$$

在重叠区域$U_\alpha\cap U_\beta$上，$\omega_\alpha$和$\omega_\beta$的局部表达式相等，也就是：
$$(\phi_{i_1\cdots i_m}\circ \pi)d(x^{i_1}\circ \pi)\wedge\cdots\wedge d(x^{i_m}\circ \pi)\wedge(f(x,t)dt^1\wedge\cdots\wedge dt^n) = (\tau_{i_1\cdots i_m}\circ \pi)d(y^{i_1}\circ \pi)\wedge\cdots\wedge d(y^{i_m}\circ \pi)\wedge(g(y,s)ds^1\wedge\cdots\wedge ds^n)$$

由于系数函数$\phi_{i_1\cdots i_m}$和$\tau_{i_1\cdots i_m}$沿纤维是常数，我们对两边的纤维进行积分后，可以得到：
$$\pi^{*(\phi)\int_{\mathbb{R}}n}f(x,t)dt^1\cdots dt^n = \pi^{*(\tau)\int_{\mathbb{R}}n}g(y,s)ds^1\cdots ds^n$$

这等价于$\pi^{*(\pi_*(\omega_\alpha))=\pi}(\pi_(\omega_\beta))$，再利用$\pi^$的单射性，就能推出在$U_\alpha\cap U_\beta$上$\pi_(\omega_\alpha)=\pi_*(\omega_\beta)$。不过我还是不确定这个推导是不是足够严谨，有没有哪里遗漏了？

用单位分解的思路遇到的困惑 #

后来我看到@user8268的提示，试着用单位分解的方法来做，步骤整理如下：

• 取M的一个平凡化覆盖${U_i,\psi_i}$，每个$U_i$是坐标邻域，$\psi_i:E_{U_i}\rightarrow U_i\times F$（F是纤维空间）。
• 构造E的坐标覆盖：先取F的坐标覆盖$(Y_j,\theta_j)$，然后定义坐标映射$\phi_{ij}=(\phi_i\times \theta_j)\circ \psi_i$，对应的开集是$V_{ij}=\psi_i^{-1}(U_i\times Y_j)$。
• 把$\omega$在坐标$(x^1,\dots,xm,y^1,\dots,yf)$下写成两类形式的线性组合：
  1. 第一类：$\alpha=f(x,y)(\pi\circ \phi_{ij}^{-1})*(\xi)\wedge dy^{j_1}\wedge\cdots\wedge dy^{{j_k}$，其中$\xi\in\Omega}{n-k}(U_i)$；
  2. 第二类：$\eta=f(x,y)(\pi\circ \phi_{ij}^{-1})*(\xi)\wedge dy^1\wedge\cdots\wedge dy^f$。
• 同样定义$\pi_(\alpha)=0$，$\pi_(\eta)=\xi\int_{\theta_j(Y_j)}f(x,y)dy^1\wedge\cdots\wedge dy^f$。

但到这一步我就卡壳了，不知道怎么结合单位分解继续推进证明，想请教有没有更清晰的步骤或者思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chris