关于满足特定倒数对条件的奇数个不同复数的相等性证明问询

嘿，我来拆解下这个问题的思路和结论吧。首先先把问题清晰地复述出来：

设$n$是奇数，$a_1, \cdots, a_n$是互不相同的复数。假设对于每个$1 \leq i \leq n$，集合$\left{ \dfrac{a_j}{a_i}: 1 \leq j \leq n, j \neq i \right}$恰好能分成$\dfrac{n-1}{2}$个无序对，每一对中的两个数互为倒数。我们能否证明所有$a_i$都相等（进而只能$n=1$）？

首先你提到已经验证了$n=3$的情况，得出$a=b=c$，但这里其实存在反例：三次单位根。比如取$a_1=1$，$a_2=\omega=e^{2\pi i/3}$，$a_3=\omega^2=e{4\pi i/3}$，这三个数明显互不相同：

• 对$i=1$，集合是${\omega, \omega^2}$，而$\omega \cdot \omega^2 = \omega^3=1$，正好是一对互为倒数的数；
• 对$i=2$，集合是${1/\omega, \omega^{2/\omega}={\omega}2, \omega}$，同样满足互为倒数的配对；
• 对$i=3$，集合是${1/\omega^2, \omega/\omega^2}={\omega, \omega^2}$，也符合题设要求。

这说明$n=3$时确实存在不同的复数满足条件，原问题的结论并不成立。

进一步推广到任意奇数$n>1$，我们都能构造出这样的例子：取所有$n$次单位根作为$a_1,\dots,a_n$。因为$n$是奇数，对于任意非零的$k \in {1,2,\dots,n-1}$，$k$和$n-k$是不同的（否则$k=n-k$即$n=2k$，与$n$奇数矛盾），而$\omega^{k$的倒数是$\omega}{n-k}$（因为$\omega^n=1$）。所以对每个$i$，集合${a_j/a_i | j≠i}$就是${\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}}$，恰好可以分成$\dfrac{n-1}{2}$对互为倒数的数，且所有$a_i$互不相同，完全符合题设的所有条件。

至于你之前推导$n=3$时得到$a=b=c$，应该是默认了复数域中$a^3=b3$就等价于$a=b$，但实际上复数域里$x^{3=1$有三个不同的根，$a}3=b^{3$只能推出$a=\omega}k b$（$k=0,1,2$），这是推导时的疏漏点。

总结一下：

• 对于任意奇数$n≥1$，当$n>1$时，都存在互不相同的复数满足题设条件（比如$n$次单位根）；
• 因此我们无法证明所有$a_i$相等，原问题的结论不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tong Yang