求与两条直线相切且过指定点的圆的方程（简化求解方法咨询）

嘿，你的思路完全没问题！其实你觉得代数运算复杂，核心原因是没先对变量做简化——既然已经确定圆心在锐角角平分线$x+y=3$上，那我们直接把圆心设为$(a, 3-a)$，这样就只剩一个变量$a$了，计算会清爽很多，我给你一步步拆解：

步骤1：用单变量表示圆心 #

因为圆心$(a,b)$在$x+y=3$上，所以$b=3-a$，圆心可简化为$(a, 3-a)$。

步骤2：计算半径的两种表达式 #

• 表达式1：圆心到定点$(-1,5)$的距离平方
  $$
  \begin{align*}
  r^2 &= (a+1)^2 + (3-a -5)^2 \
  &= (a+1)^2 + (-a-2)^2 \
  &= a^2+2a+1 + a^2+4a+4 \
  &= 2a^2+6a+5
  \end{align*}
  $$

• 表达式2：圆心到直线$3x+4y-35=0$的距离平方
  利用点到直线的距离公式，代入圆心坐标：
  $$
  \begin{align*}
  r^2 &= \left( \frac{|3a + 4(3-a) -35|}{5} \right)^2 \
  &= \left( \frac{|3a+12-4a-35|}{5} \right)^2 \
  &= \left( \frac{|-a-23|}{5} \right)^2 \
  &= \frac{(a+23)^2}{25}
  \end{align*}
  $$

步骤3：联立方程求解$a$ #

将两个半径平方的表达式联立：
$$
2a^2+6a+5 = \frac{(a+23)^2}{25}
$$
两边乘以25消去分母，整理成标准二次方程：
$$
50a^2 +150a +125 = a^2 +46a +529 \
49a^2 +104a -404 = 0
$$
计算判别式$\Delta=104^2 +4\times49\times404=10816+79184=90000=300^2$，是完全平方数，所以：
$$
a = \frac{-104\pm300}{2\times49}
$$

得到两个解：

1. $a=\frac{-104+300}{98}=2$，对应圆心$(2, 1)$，半径平方$r^2=(2+1)2+(1-5)^2=25$，圆的方程为：
   $$(x-2)^2+(y-1)2=25$$
2. $a=\frac{-104-300}{98}=-\frac{202}{49}$，对应圆心$\left(-\frac{202}{49}, \frac{349}{49}\right)$，半径平方$r^2=\frac{34225}{2401}$，圆的方程为：
   $$\left(x+\frac{202}{49}\right)^2 + \left(y-\frac{349}{49}\right)^2 = \left(\frac{185}{49}\right)^2$$
   也可以整理为整数形式：
   $$(49x+202)^2 + (49y-349)^2 = 34225$$

总结简化技巧 #

其实你一开始的方向就对，只是没先把$b$用$a$代换减少变量，导致计算时变量太多容易混乱。利用角平分线的性质把圆心坐标简化为单变量后，整个方程就变成了一元二次方程，而且刚好判别式是完全平方，计算起来就非常顺畅了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者q123LsaB