关于留数计算中分式函数留数推论的推导疑问

我现在完全搞不懂留数计算里的这个推论是怎么从前面的引理推导出来的，先把已知的内容和我的困惑都列出来：

已证明的引理 #

如果函数$f$在$z_0$处有阶数不超过$k$的极点，那么$f$在$z_0$处的留数公式为：
$$\text{Res}{z_0} f(z) = \frac 1 {(k-1)!} \left. \frac{d^{k-1}}{dz{k-1}} \right|{z_0} (z-z_0)^k f(z)$$

待理解的推论 #

如果$g$和$h$在$z_0$处解析，且$h$在$z_0$处有单零点（即满足$h(z_0)=0$且$h'(z_0) \neq 0$），则有：
$$\text{Res}_{z_0} \frac{g(z)}{h(z)} = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$$

我的思考与困惑 #

我能想明白，$h$有单零点意味着$\frac{g(z)}{h(z)}$在$z_0$处是1阶极点——毕竟如果是更高阶零点的话，$h'(z_0)$必然为0，这点逻辑是通顺的。

但当我套用前面的引理，取$k=1$的时候，计算出来的结果是：
$$\text{Res}{z_0} \frac{g(z)}{h(z)} = \frac 1 {0!} \left. \frac{d^{0}}{dz{0}} \right|{z_0} (z-z_0) \cdot \frac{g(z)}{h(z)} = \left. (z-z_0) \frac{g(z)}{h(z)} \right|_{z_0}$$

这里就卡壳了啊！这明显是$0 \cdot \infty$的不定式，难道这里其实应该是取极限而不是直接代入$z_0$？我实在搞不懂这一步怎么就能推到推论里的那个结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lukasniessen