Bartle测度论习题6G的解法正确性验证

嘿，你的这个解法完全正确！咱们来梳理下每一步的合理性：

• 首先，你将自然数集$\Bbb{N}$分解为不交单点集$E_n = {n}$的并集，这是计数测度下非常经典的拆分方式——每个单点集的计数测度$\mu(E_n)=1$，而且这些集合两两不交、并集覆盖整个定义域，完美满足后续积分拆分的条件。
• 接着，你利用了非负可测函数在不交可测集族上的积分可加性，把$\int_{\Bbb{N}} |f| d\mu$拆成了$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{E_n} |f| d\mu$，这一步是测度论积分的核心性质之一，应用完全没问题。
• 对于每个单点集$E_n$上的积分，因为$f$在$E_n$上取值恒定为$\frac{1}{n}$，所以积分结果就是函数值乘以集合的测度，也就是$\frac{1}{n} \times \mu(E_n) = \frac{1}{n}$，计算准确。
• 最后得到的级数是大名鼎鼎的调和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，这个级数是发散到正无穷的，因此$\int_{\Bbb{N}} |f| d\mu = \infty$。根据$L_1$空间的定义（函数的绝对值积分有限才属于$L_1$），自然可以得出$f \notin L_1$的结论。

整个逻辑链条清晰，每一步都严格遵循测度论的基本定义和性质，没有任何漏洞~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者UDAC