关于ℕ+ℕ+ℕ的定义、与指定有理数子集的相似性及双射函数示例的技术咨询

嘿，我来一步步帮你理清这个问题：

1. ℕ+ℕ+ℕ的严格定义 #

首先，这里的“+”指的是有序不交并（或者说序数加法下的集合表示）。具体来说，我们取三个互不相交的自然数集副本：

• $\mathbb{N}_0 = {0, 1, 2, 3, ...}$（第一个自然数链）
• $\mathbb{N}_1 = {0', 1', 2', 3', ...}$（第二个自然数链，用撇号区分，避免和第一个链重复）
• $\mathbb{N}_2 = {0'', 1'', 2'', 3'', ...}$（第三个自然数链，用双撇号区分）

然后$\mathbb{N}+\mathbb{N}+\mathbb{N}$就是这三个集合的并集，同时定义序关系：

• 同一链内的元素按自然数的常规顺序排列（比如$0' < 1' < 2' < ...$）
• 前一个链的所有元素都小于后一个链的所有元素（比如所有$\mathbb{N}_0$的元素 < 所有$\mathbb{N}_1$的元素 < 所有$\mathbb{N}_2$的元素）

你提到“ℕ+ℕ+ℕ是不是已经是ℚ的子集？”其实不是——这三个链里的元素是我们构造的“符号”，不是有理数本身，但我们可以找到一个和它序同构（也就是结构上完全相似，保持顺序关系）的有理数子集，就是题目里给出的那个集合。

2. 和指定有理数子集的相似性 #

你直觉里的理解完全正确：题目里的有理数子集${0,1/2,2/3,3/4,...,1,1+1/2,1+2/3,...,2,2+1/2,2+2/3,...}$正好分成了三个“递增链”：

• 第一个链：${0, 1/2, 2/3, 3/4, ...}$（所有元素小于1，递增趋近于1）
• 第二个链：${1, 1+1/2, 1+2/3, ...}$（所有元素在$[1,2)$区间，递增趋近于2）
• 第三个链：${2, 2+1/2, 2+2/3, ...}$（所有元素在$[2,3)$区间，递增趋近于3）

每个链内部的结构和自然数集完全一致，而且前一个链的所有元素都小于后一个链的元素——这和$\mathbb{N}+\mathbb{N}+\mathbb{N}$的序结构完美对应，所以它们是“相似”的（严格来说是序同构）。

3. 双射（序同构）函数示例 #

我们可以构造一个明确的双射函数$f: \mathbb{N}+\mathbb{N}+\mathbb{N} \to S$（$S$就是题目里的有理数子集），具体定义如下：

• 对于第一个链$\mathbb{N}_0$中的元素$k$（$k=0,1,2,...$）：
  $f(k) = \frac{k}{k+1}$
  比如：$f(0)=0$，$f(1)=1/2$，$f(2)=2/3$，$f(3)=3/4$，... 正好对应第一个链的所有元素。
• 对于第二个链$\mathbb{N}_1$中的元素$k'$（$k=0,1,2,...$）：
  $f(k') = 1 + \frac{k}{k+1}$
  比如：$f(0')=1$，$f(1')=1+1/2=3/2$，$f(2')=1+2/3=5/3$，... 对应第二个链的所有元素。
• 对于第三个链$\mathbb{N}_2$中的元素$k''$（$k=0,1,2,...$）：
  $f(k'') = 2 + \frac{k}{k+1}$
  比如：$f(0'')=2$，$f(1'')=2+1/2=5/2$，$f(2'')=2+2/3=8/3$，... 对应第三个链的所有元素。

验证这个函数是双射： #

• 单射：如果$f(x)=f(y)$，那么$x$和$y$必须来自同一个链（因为三个链对应的有理数区间互不重叠：第一个链<1，第二个链$[1,2)$，第三个链$[2,3)$）。同一链内，$\frac{k}{k+1}$是严格递增的，所以只有当$k=m$时，$\frac{k}{k+1}=\frac{m}{m+1}$，因此$x=y$。
• 满射：$S$中的任意元素要么是$\frac{k}{k+1}$（对应$\mathbb{N}_0$的$k$），要么是$1+\frac{k}{k+1}$（对应$\mathbb{N}_1$的$k'$），要么是$2+\frac{k}{k+1}$（对应$\mathbb{N}_2$的$k''$），所以每个元素都有对应的原像。

而且这个函数还保持序关系：如果$x < y$在$\mathbb{N}+\mathbb{N}+\mathbb{N}$中，那么要么$x$在前面的链，$y$在后面的链，此时$f(x)$所在区间小于$f(y)$的区间，自然$f(x)<f(y)$；要么$x$和$y$在同一链，$x=k$，$y=m$，$k<m$，则$\frac{k}{k+1} < \frac{m}{m+1}$，所以$f(x)<f(y)$——完全符合“相似”的严格要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者laikaka