询问是否存在具有不可数像集的p-adic幂等伪常函数

先明确一下定义：伪常函数指的是导数处处为0的函数，也就是满足$f'(x)=0$对所有$x$成立的函数。

我之前闲着琢磨的时候突然冒出一个问题：p-adic幂等函数到底长什么样？毕竟可微的幂等函数得同时满足两个条件：一是函数本身的幂等性质$f(f(x))=f(x)$，二是对这个等式求导后得到的$f'(f(x))f'(x)=f'(x)$。

咱们来分两种情况看导数的情况：

• 如果$f'(x)$对所有$x$都不为0，那我们可以直接把等式两边的$f'(x)$约掉，得到$f'(f(x))=1$。这其实挺符合直觉的：如果$f$的像集是$A$，那对于每个$a\in A$，都有$f(a)=a$——说白了就是$f$在自己的像集上是恒等函数。
• 如果$f'(x)$对所有$x$都为0，那这就是我们说的伪常函数了。要构造伪常的幂等函数也不难：把$\mathbb{Z}_p$拆成一堆互不相交的球，每个球指定一个中心，然后做一个局部常函数，把每个球里的点都映射到这个球的中心就行。

不过这里有个局限：用这种方法造出来的伪常幂等函数，它的像集最多是可数的——因为$\mathbb{Z}_p$的拓扑里只有可数个不同的球。但我知道确实存在像集不可数的伪常函数，那有没有可能也存在像集不可数的幂等伪常函数呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Merosity