关于闭流形中非紧无边嵌入子流形的存在性及光滑性的技术问询

嘿，这个问题一点都不基础！隔了一阵子没碰微分几何/拓扑，有这样的疑问太正常了～咱们直接来拆解你的问题：

首先，答案是肯定的——完全存在闭流形$M$里的非紧、无边、嵌入子流形$S$，而且两者都可以是光滑的。你想到二维环面（T²）的一维例子特别贴切，咱们就拿这个最经典的例子来说：

考虑二维环面T² = S¹ × S¹（可以看成是单位正方形对边粘合得到的光滑闭流形）。取一个无理数$\alpha$（比如$\alpha=\sqrt{2}$），然后定义映射$\varphi: \mathbb{R} \to T²$，$\varphi(t) = (t \mod 1, \alpha t \mod 1)$。这个映射的像$S$就是T²里的一个光滑、无边、非紧的嵌入子流形：

• 光滑性：$\varphi$是光滑映射，且导数处处非零（因为$\alpha$是无理数，不会出现切向量退化的情况），因此像$S$是光滑子流形；
• 无边：$S$是一维的，没有端点，自然满足无边的条件；
• 非紧：你可以让$t$取任意大的实数，对应的点会在环面上无限缠绕，永远不会回到起点，所以$S$作为拓扑空间是非紧的（不存在有限开覆盖能覆盖所有点）；
• 嵌入：由于$\alpha$是无理数，$\varphi$是单射且为浸入，同时$S$赋予子空间拓扑后与$\mathbb{R}$同胚，因此是嵌入子流形。

然后关于你问的“有没有定理说这样的$S$一定是闭的”——完全没有这样的定理。刚才的例子里，$S$在T²里就不是闭子集：它的闭包是整个T²（因为无理流的轨道在环面上稠密），而$S$本身只是稠密的非紧子流形，显然不是闭的。

再给你一个更直观的例子：取三维球面S³（光滑闭流形），我们知道S³去掉一个点之后同胚于$\mathbb{R}^{3$。在$\mathbb{R}}3$里取一条光滑的抛物线$y=x^2, z=0$，这条曲线是非紧、无边、光滑的，把它嵌入回S³里（通过那个同胚映射），得到的子流形$S$在S³里也是非紧、无边、光滑的，而且它在S³里不是闭的——它的闭包是这条抛物线加上去掉的那个“无穷远点”，所以$S$本身不是闭子集。

总结一下：闭流形里完全可以容纳光滑、非紧、无边的嵌入子流形，而且这些子流形不一定是$M$的闭子集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathguest