求解方程$rac{1}{2}=rac{x+y-2}{xy}$的所有$(x,y)$解及通用方法咨询

嗨，我来一步步帮你拆解这个方程的解法，顺便说说这类问题的通用思路~

首先，咱们得先明确这个方程的定义域：因为分母是$xy$，所以必须满足$x≠0$且$y≠0$，不然分式就没意义啦。

接下来处理方程本身，我们可以通过交叉相乘（因为$xy≠0$，所以这一步是合法的）把分式转化为整式：
$$xy = 2(x + y - 2)$$
把右边展开后，把所有项移到左边整理：
$$xy - 2x - 2y + 4 = 0$$
这里有个实用的小技巧——凑因式分解：把前两项提$x$，后两项提$-2$，就能提取公因式了：
$$x(y - 2) - 2(y - 2) = 0$$
$$(x - 2)(y - 2) = 0$$

到这一步就很清楚啦：这个乘积等于0，意味着要么$x-2=0$，要么$y-2=0$，结合之前的定义域，最终的解就是：

• 所有满足$x=2$且$y≠0$的实数对$(2, y)$
• 所有满足$y=2$且$x≠0$的实数对$(x, 2)$

你提到的$(3,2)$和$(2,3)$都是其中的特例，除此之外像$(2,1)$、$(5,2)$、$(2,-3)$这些也都是解，只要其中一个变量是2，另一个不为0就行。

至于这类方程的通用处理规则，一般可以遵循这几步：

• 先确定定义域，排除分母为0的情况，避免后续出现无效解；
• 在分母不为0的前提下，交叉相乘把分式方程转化为整式方程，降低处理难度；
• 对整式方程进行整理，优先尝试因式分解（像刚才的凑项法很常用），如果没法直接因式分解，也可以用参数化的方式表示解（比如把一个变量用另一个变量表示）；
• 最后结合定义域，把不符合要求的解剔除掉。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dodo