关于微分几何中不同坐标系间速度向量及GTM93中$|v_z|^2=|v_x|^2$等式的疑问

嘿，你的问题本质上是混淆了坐标分量的平方和与向量的几何模长这两个概念，我来一步步给你理清楚：

首先，GTM93里说的$|v_z|^2=|v_x|2$，这里的$|\cdot|$指的是向量本身的几何长度，而不是直接把坐标分量平方相加——后者只有在欧氏坐标系里才成立，但你引入的$z$坐标系并不是欧氏坐标系（至少不是和$x$同尺度的欧氏系），所以不能直接用分量平方和来算$|v_z|^2$。

咱们拿你的一维例子来验证：

• 在原欧氏坐标$x$下，度量张量$g_x=1$（一维欧氏空间的标准度量），所以速度向量$v_x$的模长平方是：$|v_x|^2 = g_x \cdot (v_x)^2 = 1 \times 2^2 = 4$。
• 在新坐标$z$下，我们需要先算出对应的度量张量$g_z$。根据坐标变换的度量张量变换规则：$g_z = \left(\frac{dx}{dz}\right)^2 g_x$，代入$x=2z$得$\frac{dx}{dz}=2$，所以$g_z=2^2 \times 1=4$。这时候$v_z$的模长平方应该用$z$系的度量来计算：$|v_z|^2 = g_z \cdot (v_z)^2 = 4 \times 1^2 = 4$。

你看，这样算出来两者的模长平方就相等了！

回到GTM93的原文，作者明确说了$v_z(t)$和$v_x(t)$是同一个向量——向量是几何对象，它的长度是坐标系无关的固有属性。不同坐标系下的分量只是这个向量在对应坐标基底下的投影，模长的计算必须结合该坐标系的度量（也就是基向量之间的内积），而不是简单的分量平方和。你之前错误地用欧氏坐标系的规则去计算非欧氏坐标系下的向量模长，才会得出矛盾的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rioiong