已知三条切线相关长度求圆的半径

问题修正与明确 #

首先，根据切线长定理，从同一点到同一圆的两条切线长度必然相等，所以原问题的表述应该存在翻译偏差，正确的题意应为：

点$A$在圆外，从$A$向圆作两条切线，切线长相等。点$B$在其中一条切线上，且$AB=9$；点$C$在另一条切线上，且$AC=8$。线段$BC$也是圆的切线，长度为7，求该圆的半径。

解题思路与步骤 #

你已经画出圆心到两条切线的半径，得到两个直角三角形，这一步完全正确，接下来我们结合切线长定理和余弦定理一步步求解：

1. 利用切线长定理确定基础长度
   设从$A$到圆的两条切线的切点分别为$P$和$Q$，切线长$AP=AQ=L$。
   设$BC$与圆的切点为$R$，根据切线长定理：

• $PB=BR=L-9$（因为$AB=9$，$AP=L$，所以$PB=AP-AB$）
• $QC=CR=L-8$（同理，$QC=AQ-AC$）

因为$BC=BR+CR=7$，代入得：
$$(L-9)+(L-8)=7$$
解这个方程：
$$2L-17=7 \implies 2L=24 \implies L=12$$
所以切线长$AP=AQ=12$。

2. 用余弦定理求角度关系
   在$\triangle ABC$中，已知$AB=9$，$AC=8$，$BC=7$，根据余弦定理：
   $$BC^2=AB2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\angle BAC$$
   代入数值计算：
   $$7²⁼⁹2+8^2-2\times9\times8\times\cos\angle BAC$$
   $$49=81+64-144\cos\angle BAC$$
   $$144\cos\angle BAC=145-49=96$$
   $$\cos\angle BAC=\frac{96}{144}=\frac{2}{3}$$

3. 结合直角三角形求半径
   设圆心为$O$，半径为$r$，连接$OP$、$OA$，则$\triangle OPA$是直角三角形（$OP\perp AP$）。
   设$\angle OAP=\alpha$，则$\angle BAC=2\alpha$，根据二倍角公式：
   $$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$
   代入已知的$\cos2\alpha=\frac{2}{3}$，解得：
   $$\frac{2}{3}=2\cos^2\alpha-1 \implies \cos^2\alpha=\frac{5}{6}$$

在$\triangle OPA$中，$\cos\alpha=\frac{AP}{OA}=\frac{12}{\sqrt{12^2+r2}}$，代入$\cos^2\alpha$的值：
$$\left(\frac{12}{\sqrt{144+r^2}}\right)2=\frac{5}{6}$$
$$\frac{144}{144+r^2}=\frac{5}{6}$$
交叉相乘后整理：
$$144\times6=5\times(144+r^2)$$
$$864=720+5r^2$$
$$5r^2=144$$
$$r=\frac{12\sqrt{5}}{5}\approx5.37$$

补充说明 #

你最初画的两个直角三角形（$\triangle OPA$和$\triangle OQA$）是解题的核心切入点，只要结合切线长定理找到切线长$L$，再通过余弦定理和二倍角公式搭建起角度与半径的关系，就能顺利算出结果啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者amir bahadory