关于调和级数∑ₙ=0^∞1/n发散性证明的疑问：比值判别法的困境与替代方法咨询

嗨，我完全懂你现在的困惑！你尝试用比值判别法证明调和级数发散，但算出来的极限是$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$——而比值判别法的规则里，当极限等于1时是无法判定敛散性的，所以这个方法在这里确实帮不上忙。另外要提一句，原级数从n=0开始的话，第一项$\frac{1}{0}$是无意义的，通常调和级数是从n=1开始的$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$哦。

下面给你介绍几种更有效的证明方法：

方法一：分组求和法（最经典的初等思路） #

我们把调和级数的项按规律分组，再放大每组的和：
$$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{16}\right) + \dots \
&> 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{16}\right) + \dots \
&= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots
\end{align*}
$$
每一组的和都大于$\frac{1}{2}$，而这样的组有无穷多个，整个级数的和会趋向于无穷大，自然是发散的。

方法二：积分判别法 #

积分判别法的核心逻辑是：如果函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$[1,+\infty)$上连续、正且单调递减，那么级数$\sum_{n=1}^\infty f(n)$和反常积分$\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$的敛散性一致。

计算这个反常积分：
$$
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx = \lim_{b\to+\infty}\ln x\bigg|{1}^{b} = \lim{b\to+\infty}(\ln b - \ln1) = +\infty
$$
积分是发散的，所以对应的调和级数也发散。

方法三：柯西凝聚判别法 #

对于单调递减的正项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$，它和凝聚后的级数$\sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k}$具有相同的敛散性。

对调和级数应用这个判别法，$a_n=\frac{1}{n}$，凝聚后的级数是：
$$
\sum_{k=0}^\infty 2^k \cdot \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^\infty 1
$$
这个级数的每一项都是1，显然会趋向于无穷大，所以原调和级数也发散。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Superunknown