关于友谊问题的图论证明与计数思路的正确性验证请求

我现在有一个分两部分的问题：

问题1 #

假设“朋友”关系是对称的。证明：当n ≥ 2时，任意n个人的群体中，一定有两个人在群体内的朋友数量相同。

问题2 #

当有n个人时，一共有多少种不同的“朋友”关系？为什么？

我想用图论的方法来解决，但不确定自己的思路是否正确，以下是我的思考过程：

问题1的推导思路 #

我把n个人对应成图中的n个顶点（n ≥ 2），因为“朋友”关系是对称且非自反的（毕竟没人能成为自己的朋友），所以这是一个无向简单图，每个顶点的度数就代表对应这个人的朋友数量。这种情况下，一个顶点的最大度数是n-1（也就是和其他所有人都是朋友）。

比如当n=2时，两个顶点之间有一条边，它们的度数都是1，也就意味着这两个人的朋友数量相同，符合结论。不过我不确定这个思路能不能推广到所有n≥2的情况，是不是完整的证明？

问题2的推导思路 #

我通过枚举小例子来找规律：

• 当n=2时，有1条可能的边，对应1种友谊关系；
• 当n=3时，有3条可能的边（两两之间的连接），对应3种友谊关系；

按照这个模式，我觉得n个人的群体中，不同的“朋友”关系数量就是完全图的边数，也就是公式 n(n-1)/2。但现在我有点拿不准这个结论到底对不对？

想请教一下，我的这些思路是正确的吗？如果不对的话，能不能给我指一条正确的证明方向？谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gianluigi