关于非自同构自同态的幂是否可通过投射模分解的技术问询

针对这个代数表示论相关的问题，我先梳理清楚设定和核心疑问：

• 设 $A$ 是一个环（例如，诺特局部环 $R$ 上的 $R$-代数），$M$ 是不可分解的 $A$-模，$f$ 是 $M$ 上的一个非自同构自同态
• 我们额外假设：$M$ 的自同态环是局部环

核心问题：$f$ 的某个幂是否能通过一个投射 $A$-模分解？

目前已经明确的结论是：

当 $A$ 是域上的有限维代数时，这个结论是成立的，证明可以直接用Harada-Sai引理完成。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sola