阿贝尔范畴中正合函子是否必然同时存在左伴随与右伴随的疑问

嘿，作为刚接触阿贝尔范畴的学习者，这个问题其实挺关键的——答案是不一定，正合函子未必同时拥有左伴随和右伴随，甚至可能两者都没有。下面我给你举几个直观的例子，帮你理解其中的道理：

• 第一个例子：考虑阿贝尔范畴$\mathcal{A} = \mathcal{B} = \mathbf{Ab}$（所有阿贝尔群构成的范畴），定义函子$F: \mathbf{Ab} \to \mathbf{Ab}$为“乘以整数$n$”的操作，也就是对任意阿贝尔群$G$，$F(G) = nG$（即$G$中所有$n$倍元构成的子群）。这个函子是正合的：它能保持短正合序列，若$0 \to A \to B \to C \to 0$是短正合列，那么$0 \to nA \to nB \to nC \to 0$也必然是短正合的。但这个函子既没有左伴随，也没有右伴随。原因在于伴随函子有固定的性质：左伴随必须保持所有余极限，右伴随必须保持所有极限，而这个“乘$n$”函子既不保持余极限（比如两个阿贝尔群的直和，先映射再直和，和先直和再映射的结果不一样），也不保持极限（直积同理），不符合伴随函子的存在条件。

• 第二个例子：再看环上的模范畴，比如$\mathcal{A} = \mathbf{Mod}_R$（环$R$上的左模范畴），$\mathcal{B} = \mathbf{Ab}$（阿贝尔群范畴），遗忘函子$U: \mathbf{Mod}_R \to \mathbf{Ab}$是正合的——它只是把$R$-模当成普通阿贝尔群看待，自然能保持短正合序列。这个函子有左伴随（自由函子：把阿贝尔群映射到以它为基的自由$R$-模），但没有右伴随。你可以从伴随函子的定义反推：如果存在右伴随$F: \mathbf{Ab} \to \mathbf{Mod}_R$，那么对任意$R$-模$M$和阿贝尔群$G$，应该有$Hom_{\mathbf{Ab}}(U(M), G) \cong Hom_{\mathbf{Mod}_R}(M, F(G))$。取$M=R$时，左边是$Hom_{\mathbf{Ab}}(R, G) \cong G$，右边是$Hom_{\mathbf{Mod}_R}(R, F(G)) \cong F(G)$，这意味着$F(G)$必须是$G$赋予某个$R$-模结构，但普通阿贝尔群并没有自然的$R$-模结构，矛盾，所以右伴随不存在。

总结一下：正合函子的核心性质是保持短正合序列，但伴随函子的存在需要更严格的条件（比如Freyd伴随函子定理中要求的解集条件，以及左伴随保余极限、右伴随保极限的性质）。很多正合函子无法满足这些条件，因此它们未必有左伴随或右伴随，更不用说同时拥有两者了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Learner