利用CLT计算概率极限的问题求助

大家好，我现在碰到一个用中心极限定理（CLT）计算概率极限的问题，想请各位帮忙指点一下：

已知独立随机变量 $X\sim\mathsf{Bin}\left({18},\frac13\right)$ 和 $Y\sim\mathsf{Bin}\left({m},\frac13\right)$，需要计算：
$$\displaystyle{ \lim_{m\to\infty}\mathbb{P}\left[X\leq t-Y\right] }$$
其中 $t=\frac{m}{4}$。

我自己试着梳理了思路：先令 $Z=X+Y$，这样 $Z$ 可以看作是 $m+18$ 个独立伯努利随机变量的和，每个伯努利变量的参数 $p=\frac{1}{3}$。之后我想套用中心极限定理，但因为 $t=\frac{m}{4}$，始终没法把概率里的表达式整理成 $\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leq k$（$k$ 为常数）的标准形式，卡在这儿了，希望能得到大家的思路点拨。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Elad Elmakias