满足$k_1 + \cdots + k_N = N$约束的多项系数$\binom{N}{k_1, \ldots, k_N}$的积分表示相关问询

嘿，这个问题问得相当到位！确实有不少实用的积分表示可以用来刻画满足$k_1 + \cdots + k_N = N$的多项系数$\binom{N}{k_1, \ldots, k_N}$，下面就结合你提到的傅里叶、拉普拉斯、梅林变换相关的思路，给你梳理几个常用的形式：

傅里叶相关的积分表示 #

这类表示主要利用复平面单位圆上的积分（和傅里叶级数的正交性本质相通）：

• 基于柯西积分公式的多围道积分：
  $$\binom{N}{k_1,\dots,k_N} = \frac{1}{(2\pi i)^N} \oint_{|z_1|=1} \cdots \oint_{|z_N|=1} \frac{(z_1 + z_2 + \cdots + z_N)^N}{z_1{k_1+1} z_2^{k_2+1} \cdots z_N^{k_N+1}} dz_1 \cdots dz_N$$
  原理很简单，我们知道多项式展开$(x_1+\dots+x_N)^N$里的对应系数，刚好可以通过围道积分提取出来——只有分母的指数和分子展开项匹配时，积分才会有非零结果。
• 利用傅里叶积分正交性的多变量积分：
  $$\binom{N}{k_1,\dots,k_N} = \frac{N!}{(2\pi)^N} \int_0^{2\pi} \cdots \int_0^{2\pi} \left( \frac{e^{i\theta_1} + e^{i\theta_2} + \cdots + e^{i\theta_N}}{N} \right)^N e^{-i(k_1\theta_1 + \cdots + k_N\theta_N)} d\theta_1 \cdots d\theta_N$$
  这里靠的是$\int_0^{2\pi} e^{im\theta}d\theta=2\pi\delta_{m,0}$的正交性，展开括号后只有指数完全匹配的项能留存下来，积分后就得到目标多项系数。

拉普拉斯变换相关的积分表示 #

拉普拉斯变换的核心是和Gamma函数、阶乘的联系，而多项系数本身就是阶乘的比值$\binom{N}{k_1,\dots,k_N}=\frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_N!}$，所以可以用拉普拉斯逆变换的形式构造：
$$\binom{N}{k_1,\dots,k_N} = \frac{N!}{(2\pi i)^N} \oint \cdots \oint \frac{e^{t_1 + t_2 + \cdots + t_N}}{t_1^{k_1+1} t_2^{k_2+1} \cdots t_N^{k_N+1}} dt_1 \cdots dt_N$$
这里的积分路径是复平面上围绕原点的围道，本质上是把每个$1/k_i!$对应的拉普拉斯逆变换组合起来，最终得到多项系数的积分形式。

梅林变换相关的积分表示 #

梅林变换和Gamma函数、Dirichlet积分关系密切，而多项系数可以用Gamma函数的比值表示$\binom{N}{k_1,\dots,k_N}=\frac{\Gamma(N+1)}{\prod_{i=1}^N \Gamma(k_i+1)}$，对应的积分形式是Dirichlet积分：
$$\binom{N}{k_1,\dots,k_N} = N! \int_0^1 \int_0^{1-x_1} \cdots \int_0^{1-x_1-\cdots-x_{N-2}} x_1^{k_1-1} x_2^{k_2-1} \cdots x_{N-1}^{k_{N-1}-1} (1 - x_1 - \cdots - x_{N-1})^{k_N-1} dx_1 \cdots dx_{N-1}$$
这个积分可以看作是Beta函数的多变量推广，而Beta函数又可以通过Gamma函数表示，间接和梅林变换的核关联起来。

这些积分表示各有用处：比如围道积分适合做复分析层面的渐近估计，傅里叶积分形式方便和信号处理、正交函数系结合，Dirichlet积分则常用于概率统计里的多元分布计算。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user152169