关于映射$\mathrm{End}_{\mathbb C}(W)\to\mathrm{End}_{\mathrm{End}_{\mathbb C}(S)}(S\otimes W)$双射性的技术咨询

算力阿峰

2026-4-22

关于映射$\mathrm{End}{\mathbb C}(W)\to\mathrm{End}{\mathrm{End}_{\mathbb C}(S)}(S\otimes W)$双射性的技术咨询

大家好，我最近在研究有限维复向量空间$S$和$W$的相关问题，遇到一个关于线性映射双射性的疑问，想跟大家请教一下。

首先铺垫一下背景：我们考虑$\mathrm{End}_{\mathbb C}(S)$（$S$上的复线性自同态代数）对$S$和张量积$S\otimes W$的自然作用。这里有个关键的观察：

对任意$A\in\mathrm{End}{\mathbb C}(W)$，张量积$1\otimes A$属于$\mathrm{End}{\mathrm{End}{\mathbb C}(S)}(S\otimes W)$——也就是所有与$\mathrm{End}{\mathbb C}(S)$的作用可交换的$S\otimes W$上的自同态构成的集合。

现在我关心的是下面这个映射的双射性：
$$
\begin{align}
\mathrm{End}{\mathbb C}(W)&\to\mathrm{End}{\mathrm{End}_{\mathbb C}(S)}(S\otimes W)\
A&\mapsto 1\otimes A
\end{align}
$$

我自己琢磨了下，单射性应该是比较清楚的——毕竟如果$1\otimes A=1\otimes A'$，那对任意$s\in S,w\in W$都有$s\otimes A(w)=s\otimes A'(w)$，利用张量积的性质就能推出$A=A'$。现在卡壳的地方是满射性：是不是每个与$\mathrm{End}{\mathbb C}(S)$可交换的$S\otimes W$自同态，都能表示成$1\otimes A$的形式（其中$A\in\mathrm{End}{\mathbb C}(W)$）？