立方体中最大内切圆的半径求解

最近碰到这么个问题：给定边长为$a$的立方体，能内切于这个立方体的最大圆的半径是多少？

我的思路是这样的：我猜想最大的圆应该是某个正六边形的内切圆——这个正六边形是通过按合适的顺序连接立方体各条边的中点得到的。

先算这个正六边形的边长$s$，它等于$\dfrac{a}{\sqrt{2}}$。接下来根据正六边形内切圆半径的计算方法，半径是$\frac{1}{2} s \cot 30^\circ$，代入数值计算：

$\frac{1}{2} \times \dfrac{a}{\sqrt{2}} \times \sqrt{3} = \dfrac{1}{2} a \sqrt{ \dfrac{ 3 }{2} } = a \sqrt{ \dfrac{3}{8} }$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user948761