基于阿列夫数归纳定义的ℵ_{α+1}·ℵ_{α+1}=ℵ_{α+1}递归证明方法问询

嘿，这个问题问得挺到位的！既然已经有了ℵ_α · ℵ_α = ℵ_α这个前提，确实有个简洁的思路能推导出ℵ_{α+1}的这个性质，我给你一步步理清楚：

首先咱们先锚定ℵ_{α+1}的核心定义：它是严格大于ℵ_α的最小基数——换句话说，任何小于ℵ_{α+1}的基数，要么等于ℵ_α，要么比ℵ_α还要小。

接下来看ℵ_{α+1}×ℵ_{α+1}这个集合（也就是所有由两个小于ℵ_{α+1}的序数组成的有序对），我们可以把这些有序对按「两个元素的最大值」来分组处理：

• 对于每个序数γ < ℵ_{α+1}，定义集合S_γ = {(a,b) ∈ ℵ_{α+1}×ℵ_{α+1} | max(a,b) = γ}
• 因为γ ≤ ℵ_α（毕竟ℵ_{α+1}是ℵ_α的后继基数，所有比它小的基数都不会超过ℵ_α），那么S_γ里的元素数量最多就是γ×γ个。而根据已知前提ℵ_α·ℵ_α=ℵ_α，γ×γ的基数必然≤ℵ_α。

现在，ℵ_{α+1}×ℵ_{α+1}就是所有这些S_γ的并集，而γ的取值范围刚好是ℵ_{α+1}个（从0到ℵ_{α+1}之前的所有序数）。这个并集的基数上限就是「每组的最大基数」乘以「组数」，也就是ℵ_α × ℵ_{α+1}。根据基数乘法的基本规则，两个基数相乘的结果等于其中较大的那个，这里ℵ_{α+1} > ℵ_α，所以ℵ_α × ℵ_{α+1}=ℵ_{α+1}。

另一方面，ℵ_{α+1} ≤ ℵ_{α+1}×ℵ_{α+1}是很显然的——你可以把每个序数x对应到有序对(x,x)，这是一个单射，所以左边的基数肯定不会比右边小。

最后用施罗德-伯恩斯坦定理（如果两个集合互相存在单射映射到对方，那么它们的基数相等），就能直接得出结论：ℵ_{α+1}·ℵ_{α+1}=ℵ_{α+1}！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user700974