关于紧空间上闭商映射下目标空间为豪斯多夫空间的证明提示请求

你已经迈出了非常关键的第一步！接下来可以沿着这个思路继续推进：

• 首先，对于Y中不同的两点x和y，记它们的原像集合为( A = p^{-1}(x) )和( B = p^{-1}(y) )，显然A和B是X中不相交的非空子集。这里可以先证明A和B都是X中的闭集：利用p是闭映射的性质，假设A不是闭集，那么它的闭包( \text{cl}(A) )会包含不在A中的点z，此时( p(z) \neq x )，但p是闭映射，所以( p(\text{cl}(A)) )是Y中的闭集，而( p(\text{cl}(A)) \subseteq \text{cl}(p(A)) = \text{cl}({x}) )，这就意味着( p(z) = x )，矛盾。所以A是闭集，同理B也是闭集。
• 因为X是紧空间，闭子集必然是紧子集，所以A和B都是X中的紧子集。对于紧空间中不相交的两个紧子集，我们可以找到X中分别包含A和B的不相交开集U和V（这是紧空间的经典分离性质）。
• 最后利用p是闭映射的性质：( p(X \setminus U) )是Y中的闭集，因此( Y \setminus p(X \setminus U) )是Y中包含x的开集；同理( Y \setminus p(X \setminus V) )是Y中包含y的开集。你可以验证这两个开集是不相交的——如果存在某个点同时属于它们，那它的原像会同时包含在U和V中，而U∩V=∅，这显然矛盾。

这样就能构造出Y中x和y的不相交邻域，从而证明Y是豪斯多夫空间啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Franlezana