关于不定积分∫1/(1+x²)dx的结果等价性及存在性的技术问询

嗨，这个问题问得特别棒！其实这两个表达式确实是等价的，而且不止在[-1,1]区间，在整个实数范围内都成立——只是需要结合复对数的定义和不定积分的本质来理解。

先理清楚推导逻辑：

• 你同事用的是复数域下的部分分式分解，这个操作完全合法：把$1/(1+x²)$拆成$1/[(x+i)(x-i)]$，通过待定系数法算出拆分后的系数，得到：
  $$\int{\frac{1}{1+x²}dx}=\frac{i}{2}\int{\frac{1}{x+i}}dx-\frac{i}{2}\int{\frac{1}{x-i}}dx$$
• 对复数形式的分式积分，结果自然是复对数函数，所以得到$\frac{i}{2}\log\frac{x+i}{x-i}$，这一步的积分计算没问题。

接下来关键是为什么这个复表达式和$\arctan(x)$等价：
对于实数$x$，复数$\frac{x+i}{x-i}$的模长是1（分子分母的模长都是$\sqrt{x²+1}$，比值的模为1），它的辐角是$2\arctan(x) + 2k\pi$（$k$是整数）。根据复对数的主值定义$\log z = \ln|z| + i\arg(z)$，代入后：
$$\frac{i}{2}\log\frac{x+i}{x-i} = \frac{i}{2}\left(0 + i(2\arctan(x)+2k\pi)\right) = \arctan(x) + k\pi$$
这正好是$\arctan(x)$作为不定积分的结果——因为不定积分的本质是一族相差常数的原函数，这里的$k\pi$就是常数项。当我们取$k=0$时，就得到了$\arctan(x)$的主值形式。

所以结论是：$\arctan(x)$和$\frac{i}{2}\log\frac{x+i}{x-i}$在实数范围内是等价的（作为不定积分的原函数族），不止局限于[-1,1]区间哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ahmed zeribi