变分离散化中证明u(xᵢ)=uₕ(xᵢ)的技术咨询
问题背景
假设 $f \in L^2(0,1)$，$u \in H^1_0(0,1)$ 是如下变分问题的解：
$$
\int_0^1 u'(x)v'(x) dx=\int_0^1 f(x)v(x)dx \tag{1}
$$
对所有 $v \in H^1_0(0,1)$ 成立。
现在考虑离散问题的解 $u_h$，离散空间定义为：
$$
V_h:={v_h \in C(\bar{\Omega}) \mid v_h(0)=v_h(1)=0 \text{ 且 对所有 } j=1,..,N: v_h|{[x_i,x{i+1}]} \text{ 是线性的}}
$$
其中 $\Omega=(0,1)$ 是均匀网格，网格点 $x_i=ih$（$i=0,..,N$），离散变分问题为：
$$
\int_0^1u_h'(x)v_h'(x) dx=\int_0^1f(x)v_h(x)dx \tag{2}
$$
对所有 $v_h \in V_h$ 成立。
你猜想：在所有网格点 $x_i$ 上，$u(x_i)=u_h(x_i)$，并尝试了如下证明思路：
你的尝试思路
对 $u_h$ 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上分部积分：
$$
\int_{x_i}^{x_{i+1}} u_h'(x)v_h'(x) dx= u_h(x_{i+1})v_h'(x_{i+1})-u_h(x_i)v_h'(x_i)-\int_{x_i}^{x_{i+1}}u_h''(x)v_h(x)dx
$$
由于 $u_h$ 在子区间上是线性的，$u_h''(x)=0$，因此最后一项消失，得到：
$$
\int_{x_i}^{x_{i+1}} u_h'(x)v_h'(x) dx= u_h(x_{i+1})v_h'(x_{i+1})-u_h(x_i)v_h'(x_i)
$$考虑 $u$ 的线性插值 $u_I$（满足 $u_I(x_i)=u(x_i)$），同理可得：
$$
\int_{x_i}^{x_{i+1}} u_I'(x)v_h'(x) dx= u(x_{i+1})v_h'(x_{i+1})-u(x_i)v_h'(x_i)
$$你希望证明：
$$
u_h(x_{i+1})v_h'(x_{i+1})-u_h(x_i)v_h'(x_i)=u(x_{i+1})v_h'(x_{i+1})-u(x_i)v_h'(x_i)
$$
即等价于：
$$
v_h'(x_{i+1})[u_h(x_{i+1})-u(x_{i+1})]-v_h'(x_i)[u_h(x_i)-u(x_i)]=0
$$
进而推出 $u_h(x_i)=u(x_i)$，但不确定这个结论是否正确，同时疑惑是否可以从式(2)推出：
$$
\int_{x_i}^{x_{i+1}}u_h'(x)v_h'(x) dx=\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)v_h(x)dx
$$
不清楚如何完成证明，想知道当前思路是否正确。
解答与梳理
你的思路方向完全正确，只是还差关键的一步——利用变分问题中测试函数的任意性，选择**特殊的分段线性测试函数（帽函数）**来锁定节点值的关系。咱们一步步理清楚：
1. 子区间积分等式的合理性
首先，你疑惑的“从式(2)推出子区间积分等式”是成立的：因为积分具有可加性，整个区间$(0,1)$的积分等于所有子区间$[x_i,x_{i+1}]$积分的和，所以对任意子区间，确实有：
$$
\int_{x_i}^{x_{i+1}}u_h'(x)v_h'(x) dx=\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)v_h(x)dx
$$
这一步没问题，直接由积分的基本性质保证。
2. 关键：选择帽函数作为测试函数
要证明节点值相等，我们选只在单个节点$x_i$附近非零的帽函数$\phi_i \in V_h$：
- $\phi_i(x_j)=\delta_{ij}$（克罗内克函数，$i=j$时为1，否则为0）
- $\phi_i$在$[x_{i-1},x_i]$上是斜率为$\frac{1}{h}$的直线，在$[x_i,x_{i+1}]$上是斜率为$-\frac{1}{h}$的直线，其他区间取值为0
把$\phi_i$代入离散变分问题(2)，得到：
$$
\int_0^1 u_h'(x)\phi_i'(x)dx = \int_0^1 f(x)\phi_i(x)dx
$$
同时，原问题的解$u$满足式(1)，对$u$和$\phi_i$应用分部积分（注意$u \in H^1_0$，边界项$u(0)\phi_i'(0)=u(1)\phi_i'(1)=0$），结合原问题的强形式$-u''=f$（弱意义下成立），可得：
$$
\int_0^1 u'(x)\phi_i'(x)dx = -\int_0^1 u''(x)\phi_i(x)dx = \int_0^1 f(x)\phi_i(x)dx
$$
3. 计算积分并推导递推关系
现在计算$\int_0^1 u_h'(x)\phi_i'(x)dx$：
- 在$[x_{i-1},x_i]$上，$\phi_i'(x)=\frac{1}{h}$，$u_h'(x)=\frac{u_h(x_i)-u_h(x_{i-1})}{h}$，积分结果为$\frac{u_h(x_i)-u_h(x_{i-1})}{h} \cdot \frac{1}{h} \cdot h = \frac{u_h(x_i)-u_h(x_{i-1})}{h}$
- 在$[x_i,x_{i+1}]$上，$\phi_i'(x)=-\frac{1}{h}$，$u_h'(x)=\frac{u_h(x_{i+1})-u_h(x_i)}{h}$，积分结果为$\frac{u_h(x_{i+1})-u_h(x_i)}{h} \cdot \left(-\frac{1}{h}\right) \cdot h = -\frac{u_h(x_{i+1})-u_h(x_i)}{h}$
- 其他区间积分项为0
把两部分加起来，化简后得到：
$$
\int_0^1 u_h'(x)\phi_i'(x)dx = \frac{1}{h}\left[2u_h(x_i)-u_h(x_{i-1})-u_h(x_{i+1})\right]
$$
同样地，对原解$u$做相同的计算，会得到：
$$
\int_0^1 u'(x)\phi_i'(x)dx = \frac{1}{h}\left[2u(x_i)-u(x_{i-1})-u(x_{i+1})\right]
$$
因为这两个积分都等于$\int_0^1 f(x)\phi_i(x)dx$，所以令它们相等：
$$
2u_h(x_i)-u_h(x_{i-1})-u_h(x_{i+1}) = 2u(x_i)-u(x_{i-1})-u(x_{i+1})
$$
令$e_i = u_h(x_i)-u(x_i)$（节点处的误差），代入上式得到递推关系：
$$
2e_i - e_{i-1} - e_{i+1} = 0
$$
4. 递推关系的解
这个递推关系是二阶线性齐次递推，结合边界条件$e_0=u_h(0)-u(0)=0$，$e_N=u_h(1)-u(1)=0$，其唯一解是$e_i=0$对所有$i$成立，也就是说$u_h(x_i)=u(x_i)$对所有网格点$x_i$都成立。
5. 对你之前推导的补充
你之前的推导中，最后一步的结论是对的：如果对任意$v_h \in V_h$都能满足那个等式，确实可以推出节点值相等，但关键是要结合变分问题的条件，把这个等式和$f$的积分联系起来。而选择帽函数是最直接的方式，因为它能把积分转化为只和相邻节点值有关的表达式，进而得到递推关系。
总结
你的思路完全正确，只是需要引入特殊的测试函数来完成最后一步推导。最终可以确定：离散解$u_h$在所有网格点上的取值和原解$u$完全相同，也就是说$u_h$就是$u$的线性插值函数。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andreas804
