实分析中利用微分中值定理证明二阶导数相关等式的问题
问题回顾
设函数 $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ 二阶连续可导，且存在 $x, h$ 满足 $a<x-h<x+h<b$。我们需要证明：存在 $\xi \in (x-h,x+h)$，使得
$$\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}=f''(\xi)$$
你的尝试分析
你用拉格朗日中值定理的思路其实是对的，不过确实卡在了最后一步。先把你的推导再理清楚：
$$
\begin{align*}
\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}} &= \dfrac{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}}{h} \
&=\dfrac{f'(\xi_{1})-f'(\xi_{2})}{h} \
&=\left(\dfrac{f'(\xi_{1})-f'(\xi_{2})}{\xi_{1}-\xi_{2}}\right)\left(\dfrac{\xi_{1}-\xi_{2}}{h}\right)\
&=f''({\xi_{3}})\cdot\dfrac{\xi_{1}-\xi_{2}}{h}
\end{align*}
$$
这里：
- $\xi_{1} \in (x, x+h)$，是对 $f$ 在 $(x,x+h)$ 上用拉格朗日中值定理得到的；
- $\xi_{2} \in (x-h, x)$，是对 $f$ 在 $(x-h,x)$ 上用拉格朗日中值定理得到的；
- $\xi_{3}$ 是对 $f'$ 在 $\xi_{1}$ 和 $\xi_{2}$ 之间的区间上用拉格朗日中值定理得到的。
这个思路的问题在于 $\frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{h}$ 是一个依赖于 $\xi_{1},\xi_{2}$ 的系数，没法直接和 $f''(\xi)$ 划等号，所以我们换一种更直接的方法——构造辅助函数结合泰勒定理来证明。
严谨证明（构造辅助函数法）
我们构造一个辅助函数 $F(t)$，把变量 $h$ 转化为参数 $t$，这样更容易应用中值定理：
令 $F(t) = f(x+th) + f(x-th) - 2f(x)$，其中 $t \in [0,1]$。
首先看初始值：
- $F(0) = f(x) + f(x) - 2f(x) = 0$；
- $F(1) = f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)$，正好是我们分子部分的结果。
接下来求导：
一阶导数：
$$F'(t) = hf'(x+th) - hf'(x-th)$$
显然 $F'(0) = hf'(x) - hf'(x) = 0$。二阶导数：
$$F''(t) = h^2f''(x+th) + h^2f''(x-th)$$
现在对 $F(t)$ 在区间 $[0,1]$ 上应用泰勒展开式（带拉格朗日余项）：
对于任意 $t \in [0,1]$，有
$$F(t) = F(0) + F'(0)\cdot t + \frac{1}{2}F''(\theta)t^2$$
其中 $\theta \in (0,t)$。
当 $t=1$ 时，代入 $F(0)=0$ 和 $F'(0)=0$，得到：
$$F(1) = \frac{1}{2}F''(\theta)$$
把 $F(1)$ 和 $F''(\theta)$ 的表达式代入：
$$f(x+h)+f(x-h)-2f(x) = \frac{1}{2}\left[h^2f''(x+\theta h) + h^2f''(x-\theta h)\right]$$
因为 $f''$ 是连续函数，根据连续函数的介值定理，存在 $\xi$ 介于 $x-\theta h$ 和 $x+\theta h$ 之间（显然 $\xi \in (x-h,x+h)$），使得
$$\frac{f''(x+\theta h) + f''(x-\theta h)}{2} = f''(\xi)$$
把这个结果代入上式，整理后就得到：
$$f(x+h)+f(x-h)-2f(x) = h^2f''(\xi)$$
两边同时除以 $h^2$，就得到了我们要证明的等式：
$$\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}=f''(\xi)$$
补充：修正你的原始思路
如果一定要沿着你最开始的思路走，我们可以利用连续函数的介值性（因为 $f''$ 连续）：
注意到 $\xi_{1} \in (x,x+h)$，$\xi_{2} \in (x-h,x)$，所以 $\xi_{1} - \xi_{2} \in (0,2h)$，即 $\frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{h} \in (0,2)$。而 $\frac{f'(\xi_{1})-f'(\xi_{2})}{\xi_{1}-\xi_{2}}=f''(\xi_{3})$，其中 $\xi_{3}$ 在 $\xi_{1}$ 和 $\xi_{2}$ 之间。
由于 $f''$ 在 $(x-h,x+h)$ 上连续，它能取到介于自身最小值和最大值之间的所有值，而 $f''(\xi_{3})\cdot\frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{h}$ 必然落在这个区间内，因此一定存在某个 $\xi \in (x-h,x+h)$，使得 $f''(\xi)=f''(\xi_{3})\cdot\frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{h}$，从而得到目标等式。不过这个思路不如辅助函数法直接清晰，更推荐前者。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者maths and chess
