非平凡有限生成centre-by-finite群的构造示例及半直积构造可行性问询

当然存在除了$A\times F$（$A$有限生成阿贝尔群，$F$有限群）之外的非平凡有限生成centre-by-finite群，而且半直积确实可以构造出这类群——你之前没成功可能是没找对作用方式，我给你举几个具体例子，再解释关键点：

一、半直积构造的有效例子 #

比如取$A = \mathbb{Z}^2$（有限生成自由阿贝尔群），$H = \langle t \rangle$（2阶循环群，$t^2=1$），定义H对A的作用为：$t\cdot(x,y) = (x, -y)$。构造半直积$G = A \rtimes H$，这个群的生成元是$(1,0)$、$(0,1)$和$t$，显然是有限生成的。

现在计算它的中心$Z(G)$：

• 对于A中的元素$(a,b)$，它能和t交换当且仅当$t\cdot(a,b) = (a,b)$，即$-b = b$，也就是$b=0$，所以A中属于中心的元素是${(x,0) \mid x\in\mathbb{Z}}$；
• 对于H中的元素t，它能和所有A元素交换吗？显然不行，比如t和$(0,1)$交换的话会得到$(0,-1)t = (0,1)t$，这只有$(0,-1)=(0,1)$才成立，所以t不在中心里。

最终$Z(G) = {(x,0) \mid x\in\mathbb{Z}}$，而$[G:Z(G)] = [A:A\cap Z(G)] \times [H:H\cap Z(G)] = 2 \times 2 = 4$，是有限的，满足centre-by-finite的条件，而且这个群不是直积（因为t对A的作用非平凡），完全符合你的需求。

二、非半直积的中心扩张例子 #

除了半直积，还可以通过非平凡中心扩张构造：取有限群$F$和有限生成阿贝尔群$Z$，如果存在非平凡的上同调类$c\in H^2(F,Z)$，对应的中心扩张$1\to Z\to G\to F\to1$就是一个非平凡例子。

比如取$F = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$（3阶循环群），$Z = \mathbb{Z}$（无限循环群），$H^2(F,Z) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，取非平凡的上同调类对应的扩张群$G$：这个群的中心包含$Z$，$[G:Z(G)] = |F| = 3$（有限），而且因为扩张是非平凡的，$G$不能分解为$Z\times F$，是典型的非平凡centre-by-finite群。

三、半直积构造的关键点 #

你之前尝试半直积没成功，大概率是没满足两个核心条件：

• 有限群H对无限阿贝尔群A的作用，必须让H作用的不动点子群$A^H = {a\in A \mid h\cdot a = a, \forall h\in H}$在A中的指数有限；
• H中平凡作用在A上的元素集合$Z_H(A) = {h\in H \mid h\cdot a = a, \forall a\in A}$在H中的指数有限。

只要满足这两点，半直积$G = A\rtimes H$的中心$Z(G)$会包含$A^H \times Z_H(A)$，而$[G:Z(G)] = [A:A^H] \times [H:Z_H(A)]$，自然是有限的，也就符合centre-by-finite的定义了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jared White