如何从给定的$\mathcal{M}_j$假设推导该离散格式的质量守恒性质？

这是个很经典的离散格式质量守恒推导问题，咱们一步步拆解来做：

步骤1：对离散方程全场求和 #

首先，我们把你给出的离散方程两边，对所有网格索引$(i,j)\in\mathcal{I}\times\mathcal{J}$求和。原方程为：
$$
\varepsilon\Delta x_i\Delta v_j(f_{ij}^{n+1}-f_{ij}n)+\Delta t(\mathcal{F}{i+\frac{1}{2},j}^{{n+1}-\mathcal{F}_{i-\frac{1}{2},j}}{n+1})=\frac{\Delta t}{\varepsilon}\Delta x_i\Delta v_j(\rho_i^{{n+1}\mathcal{M}_j-f_{ij}}{n+1})
$$
对左右两边同时做$\sum{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}}$操作，接下来逐项分析每一部分。

步骤2：处理左边第一项（时间差分项） #

左边第一项展开后是：
$$
\varepsilon\sum_{i,j}\Delta x_i\Delta v_j(f_{ij}^{n+1}-f_{ij}n) = \varepsilon\left( \sum_{i,j}\Delta x_i\Delta v_j f_{ij}^{n+1} - \sum_{i,j}\Delta x_i\Delta v_j f_{ij}^n \right)
$$
我们定义总质量$Q^n = \sum_{i,j}\Delta x_i\Delta v_j f_{ij}^n$，这正是我们要证明守恒的量，所以这一项可以简化为：
$$
\varepsilon(Q^{n+1} - Q^n)
$$

步骤3：处理左边第二项（通量差分项） #

左边第二项是通量的差分求和：
$$
\Delta t\sum_{i,j}\left(\mathcal{F}{i+\frac{1}{2},j}^{{n+1}-\mathcal{F}_{i-\frac{1}{2},j}}{n+1}\right)
$$
先固定$j$，对$i$求和：这是一个望远镜求和（telescoping series），展开后会只剩下边界处的通量项：
$$
\sum{i\in\mathcal{I}}\left(\mathcal{F}{i+\frac{1}{2},j}^{{n+1}-\mathcal{F}_{i-\frac{1}{2},j}}{n+1}\right) = \mathcal{F}{|\mathcal{I}|+\frac{1}{2},j}^{n+1} - \mathcal{F}{-\frac{1}{2},j}^{n+1}
$$
在这类流体/动理学离散格式中，我们通常假设计算域边界处没有质量流入流出，也就是边界通量为0：$\mathcal{F}{|\mathcal{I}|+\frac{1}{2},j}^{n+1} = \mathcal{F}_{-\frac{1}{2},j}^{n+1} = 0$。因此这整个求和项的结果为0。

步骤4：处理右边的弛豫项 #

右边的项先拆成两部分：
$$
\frac{\Delta t}{\varepsilon}\left( \sum_{i,j}\Delta x_i\Delta v_j \rho_i^{n+1}\mathcal{M}j - \sum{i,j}\Delta x_i\Delta v_j f_{ij}^{n+1} \right)
$$
这里需要补充一个动理学格式的常规定义：$\rho_i^{{n+1}$是网格$i$处的宏观密度，由速度空间积分得到，即$\rho_i}{n+1} = \sum_{j\in\mathcal{J}}\Delta v_j f_{ij}^{n+1}$。

• 先看第一部分：把$\rho_i^{n+1}$代入后，交换求和顺序：
  $$
  \sum_{i,j}\Delta x_i\Delta v_j \rho_i^{n+1}\mathcal{M}j = \sum{i\in\mathcal{I}}\Delta x_i \rho_i^{n+1} \sum_{j\in\mathcal{J}}\Delta v_j \mathcal{M}j
  $$
  根据题目中给出的$\mathcal{M}j$的第三个假设$\sum{j\in\mathcal{J}}\mathcal{M}j\Delta v_j=1$，这部分就简化为：
  $$
  \sum{i\in\mathcal{I}}\Delta x_i \rho_i^{n+1} = \sum{i\in\mathcal{I}}\Delta x_i \sum_{j\in\mathcal{J}}\Delta v_j f_{ij}^{n+1} = \sum_{i,j}\Delta x_i\Delta v_j f_{ij}^{n+1} = Q^{n+1}
  $$
• 右边的第二部分就是$-Q^{n+1}$，所以右边整体的结果为：
  $$
  \frac{\Delta t}{\varepsilon}(Q^{n+1} - Q^{n+1}) = 0
  $$

步骤5：整合结果得到守恒性 #

把左右两边的结果整合起来：
$$
\varepsilon(Q^{n+1} - Q^n) + 0 = 0
$$
因为$\varepsilon$是弛豫时间，不为0，所以可以直接得到$Q^{n+1} = Q^{n$。递推下去，对任意$n\geq0$，都有$Q}n = Q^0$，也就是题目中的式(#)：
$$
\sum_{(i,j)\in\mathcal{I}\times\mathcal{J}}\Delta x_i\Delta v_j f_{i,j}^n=\sum_{(i,j)\in\mathcal{I}\times\mathcal{J}}\Delta x_i\Delta v_j f_{i,j}^0\qquad\forall n\geq 0
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者selector