紧收敛与局部一致收敛不等价的拓扑空间示例咨询

你好呀！关于紧收敛和局部一致收敛不等价的拓扑空间，除了你找到的那个例子，其实还有不少经典的构造呢，我给你整理几个常见的：

• 有理数集$\mathbb{Q}$（赋予欧氏空间的子空间拓扑）
  构造序列$f_n: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$：
  $$
  f_n(x) =
  \begin{cases}
  1, & \text{若 } x \in (-\infty, \sqrt{2}) \cap \mathbb{Q} \text{ 且 } |x| < n \
  0, & \text{其他}
  \end{cases}
  $$
  解释：$\mathbb{Q}$中的紧子集都是有限集（因为无限子集在$\mathbb{Q}$中没有聚点，无法被有限开覆盖），所以紧收敛等价于点态收敛，这个序列点态收敛到函数$f(x)=1$（当$x < \sqrt{2}$时），否则为0。但在$\sqrt{2}$附近的任何开邻域内，序列无法一致收敛——总能找到邻域内的有理数$x$，当$n$足够大时$f_n(x)$会在0和1之间跳变，不满足一致收敛的$\epsilon$条件。

• 不可数集上的可数补拓扑空间
  设$X$是一个不可数集，赋予可数补拓扑（即闭集为可数集或$X$本身）。取$X$的一个可数无限子集${x_k}{k=1}^\infty$，构造序列$f_n: X \to \mathbb{R}$：
  $$
  f_n(x) =
  \begin{cases}
  1, & \text{若 } x \in {x_1, x_2, ..., x_n} \
  0, & \text{其他}
  \end{cases}
  $$
  解释：可数补拓扑中，$X$的紧子集都是有限集（无限子集的开覆盖可以用“去掉单个点”的开集组成，不存在有限子覆盖），因此这个序列在每个紧子集上最终恒为0，满足紧收敛。但$X$的任何非空开集的补集都是可数的，所以必然包含无限多个${x_k}$中的点——对于任意$n$，总能找到$x{n+1}$在该开集内，此时$f_n(x_{n+1})=0$而$f_{n+1}(x_{n+1})=1$，无法满足一致收敛的要求，因此不具备局部一致收敛性。

• Arens-Fort空间
  这个空间定义为$X = \mathbb{N} \times \mathbb{N} \cup {(0,0)}$，拓扑规则如下：

  • 对于$(m,n) \neq (0,0)$，单点集${(m,n)}$是开集；
  • 对于$(0,0)$，它的邻域是包含$(0,0)$，且去掉有限行后，剩余每行仅去掉有限个点的集合。
    构造序列$f_n: X \to \mathbb{R}$：
    $$
    f_n(x) =
    \begin{cases}
    1, & \text{若 } x=(m,k) \text{ 且 } m \leq n, k \leq n \
    0, & \text{其他}
    \end{cases}
    $$
    解释：Arens-Fort空间的紧子集都是有限集（包含$(0,0)$的紧子集必须满足：除有限行外，其余行仅含有限个点，最终整体为有限集），所以序列紧收敛到0函数。但在$(0,0)$的任何邻域内，总能找到形如$(N+1,N+1)$的点（$N$为邻域定义中去掉的行数/点数上限），当$n \geq N+1$时$f_n$在该点取值为1，与极限0矛盾，因此邻域内无法一致收敛，不满足局部一致收敛。

这些例子的核心共同点是：空间不具备局部紧性，且存在某个点，它的每个邻域都包含“足够大”的子集，导致序列在邻域内无法一致收敛，但在每个紧子集（通常是有限或“规模很小”的集合）上能顺利一致收敛。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Soumik Mukherjee