关于m≥3、n≥1时某代数表达式非负性的证明方法咨询

云原生阿岚

2026-4-22

关于$m\geq 3$、$n\geq 1$时某代数表达式非负性的证明方法咨询

嘿，我来帮你梳理这个问题～首先你之前的化简结果可能有点小误差，咱们重新一步步算清楚，这样就能明确怎么证明非负性啦：

原问题：对于所有$m\geq 3$且$n\geq 1$，证明：
$$\left(\frac{mn^2-mn+2}{2}\right) ^2-\left(\frac{m(n-1) ^2-m(n-1) +2}{2}\right) \left(\frac{m(n+1) ^2-m(n+1) +2}{2}\right)\geq 0$$

第一步：重新化简表达式

为了方便计算，我们先给每个分式起个简化名称：令$A(n) = \frac{mn^2 - mn + 2}{2}$，那么原表达式就是$A(n)^2 - A(n-1)A(n+1)$。

我们把分母统一提出来，先计算分子部分的差值：
$$4\left[A(n)^2 - A(n-1)A(n+1)\right] = \left[m(n^{2-n)+2\right]}2 - \left[m((n-1)^{2-(n-1))+2\right]\left[m((n+1)}2-(n+1))+2\right]$$

展开并合并同类项后：

展开平方项：$\left[m(n^{2-n)+2\right]}2 = m²ⁿ2(n-1)^2 + 4mn(n-1) + 4$
展开乘积项：$\left[m(n-1)(n-2)+2\right]\left[mn(n+1)+2\right] = m^2n(n-1)(n+1)(n-2) + 2m(n-1)(n-2) + 2mn(n+1) + 4$
两者相减后，$m^2$的系数化简为$2mn(n-1)$，$m$的系数化简为$-4$，常数项完全抵消

最终得到原表达式的正确化简结果：
$$A(n)^2 - A(n-1)A(n+1) = \frac{m\left(mn(n-1) - 2\right)}{2}$$

第二步：分情况讨论非负性

现在结合$m\geq3$，$n\geq1$的条件分析：

当$n=1$时：代入化简式得$\frac{m(0 - 2)}{2} = -m$，显然小于0，这时候原表达式不满足非负性（这里可能题目存在笔误，比如要求$n\geq2$？）
当$n\geq2$时：$n(n-1)\geq2\times1=2$，结合$m\geq3$，可得$mn(n-1)\geq3\times2=6>2$，因此$mn(n-1)-2>0$。再加上$m>0$，整个式子$\frac{m\left(mn(n-1)-2\right)}{2}$必然大于0，满足非负性。