Stratonovich积分证明中求和项收敛于伊藤积分的严谨性疑问
我完全理解你的困惑——很多教材里的“clearly”或者“obviously”往往是作者觉得这个结论在他们的知识框架下直观，但对初学者来说完全摸不着头脑。咱们一步一步把这个“显然”的结论拆成严谨的推导：
首先，先明确我们的目标：证明第一个求和项
$$\sum \left[ B_{\frac{t_j+t_{j+1}}{2}}(B_{t_{j+1}}-B_{\frac{t_j+t_{j+1}}{2}})+B_{t_{j}}(B_{\frac{t_j+t_{j+1}}{2}}-B_{t_j}) \right]$$
在分割的mesh size（即所有区间$[t_j,t_{j+1}]$的最大长度）趋于0时，均方收敛到伊藤积分$\int_{0}^{T} B_t dB_t$。
第一步：回忆伊藤积分的定义
伊藤积分$\int_{0}^{T} B_t dB_t$的严格定义是：对区间$[0,T]$的分割$\Pi = {0=t_0 < t_1 < ... < t_n=T}$，当分割的mesh size $|\Pi| \to 0$时，求和式
$$I_\Pi = \sum_{j=0}^{n-1} B_{t_j}(B_{t_{j+1}} - B_{t_j})$$
的均方极限（即$E\left[ \left| I_\Pi - \int_0^T B_t dB_t \right|^2 \right] \to 0$）。
第二步：计算目标求和项与伊藤和的差
设$m_j = \frac{t_j + t_{j+1}}{2}$，我们把目标求和项记为$S$：
$$S = \sum_{j=0}^{n-1} \left[ B_{m_j}(B_{t_{j+1}} - B_{m_j}) + B_{t_j}(B_{m_j} - B_{t_j}) \right]$$
把伊藤和$I_\Pi$拆成两个子区间的和：
$$I_\Pi = \sum_{j=0}^{n-1} \left[ B_{t_j}(B_{m_j} - B_{t_j}) + B_{t_j}(B_{t_{j+1}} - B_{m_j}) \right]$$
两者做差：
$$S - I_\Pi = \sum_{j=0}^{n-1} \left[ B_{m_j}(B_{t_{j+1}} - B_{m_j}) - B_{t_j}(B_{t_{j+1}} - B_{m_j}) \right] = \sum_{j=0}^{n-1} (B_{m_j} - B_{t_j})(B_{t_{j+1}} - B_{m_j})$$
第三步：用均方收敛的定义验证
我们需要证明当$|\Pi| \to 0$时，$E\left[ |S - I_\Pi|^2 \right] \to 0$。
先展开平方项：
$$E\left[ |S - I_\Pi|^2 \right] = E\left[ \left( \sum_j (B_{m_j}-B_{t_j})(B_{t_{j+1}}-B_{m_j}) \right)^2 \right]$$
展开后分为对角项（$i=j$）和交叉项（$i \neq j$）：
- 交叉项（$i < j$）：布朗运动的增量是独立的，且$E[B_{m_i}-B_{t_i}] = 0$，$E[B_{t_{i+1}}-B_{m_i}] = 0$，所以交叉项的期望都是0，可以直接忽略。
- 对角项（$i=j$）：$B_{m_j}-B_{t_j}$和$B_{t_{j+1}}-B_{m_j}$是独立的正态随机变量，均值为0，方差都是$\frac{\Delta t_j}{2}$（其中$\Delta t_j = t_{j+1} - t_j$）。对于独立正态变量$X,Y$，有$E[X2Y2] = E[X2]E[Y2]$，所以每个对角项的期望是：
$$E\left[ (B_{m_j}-B_{t_j})2(B_{t_{j+1}}-B_{m_j})2 \right] = \left( \frac{\Delta t_j}{2} \right)^2$$
把所有对角项加起来：
$$\sum_j \left( \frac{\Delta t_j}{2} \right)^2 \leq |\Pi| \cdot \sum_j \frac{\Delta t_j}{4} = |\Pi| \cdot \frac{T}{4}$$
当$|\Pi| \to 0$时，这个和趋于0，因此$E\left[ |S - I_\Pi|^2 \right] \to 0$，即$S$均方收敛到伊藤积分$\int_0^T B_t dB_t$。
为什么书里说“clearly”？
可能作者是从直观角度出发：当分割足够细时，$m_j$和$t_j$的差距可以忽略，$B_{m_j}$近似等于$B_{t_j}$，此时$S$就近似于伊藤和$I_\Pi$，所以自然收敛到伊藤积分。但这种直观对初学者不友好，必须通过均方收敛的严格定义才能彻底理解。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者jmac
