关于指数不等式3ⁿ>n³的成立条件验证及极限法证明有效性的问询

问题与初步尝试 #

我正在寻找所有满足$3^n>n3$的非负整数$n$，先手动验证了前4个情况：

• $3^0=1>03=0$，不等式成立
• $3^1=3>13=1$，不等式成立
• $3^2=9>23=8$，不等式成立
• $3^3=27\not>33=27$，不等式不成立

之后我尝试证明：对于所有$n\ge3$，$3^n>n3$均不成立，目前的思路是：

1. 基例验证：当$n=3$时，$3^{3=27$，显然不满足$3}n>n^3$
2. 针对$n>3$的情况，我想用极限来推导：
   $$\lim_{n\to\infty}3^{n>\lim_{n\to\infty}n}3$$
   因为指数函数$3^{n$的增长速度远快于三次多项式$n}3$，再结合前面$n<3$时的验证结果，我认为可以得出结论：所有$n\ge3$时$3^n>n3$都不成立。

我的疑问 #

不过我现在拿不准——用极限的方法来完成这个证明是有效的吗？希望能得到大家的提示或者建议。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Superunknown