关于Folland《实分析》命题1.15证明中无穷端点情形的详细推导请求

我现在卡在Folland《实分析》里命题1.15的证明最后部分了，想请大佬帮忙详细讲讲无穷端点的情况。先把这个命题和当前的证明进度理清楚：

命题1.15（第33页）：设$F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是单调递增且右连续的函数。对于互不相交的半开区间$(a_j, b_j]$（也就是书中说的h-interval），定义
$$\mu_0 \Big(\bigcup_{j=1}^n (a_j, b_j] \Big) := \sum_{j=1}^n [F(b_j)-F(a_j)]$$
且规定$\mu_0 ( \emptyset) = 0 $。则$\mu_0$是代数$\mathcal{A}$上的预测度。

书里的证明已经完成了两步：一是说明$\mu_0$定义良好，二是通过构造证明了它是有限可加的。现在剩下要证的是可数可加性：

若${I_j}{j=1}^{{\infty}$是一列互不相交的h-interval，且$\bigcup_{j=1}}{\infty} I_j \in \mathcal{A}$，则$\mu_0(\bigcup{j=1}^{\infty} I_j) = \sum_{j=1}^{\infty}\mu_0(I_j)$。

其中“$\mu_0(\bigcup_{j=1}^{\infty} I_j) \geq \sum_{j=1}^{{\infty}\mu_0(I_j)$”这部分我已经看懂了，现在卡壳在反向不等式$\mu_0(\bigcup_{j=1}}{\infty} I_j) \leq \sum_{j=1}^{{\infty}\mu_0(I_j)$的证明上。书里把$\bigcup_{j=1}}{\infty} I_j$记为$I$，分了三种情况讨论：

• (i) $a$和$b$都是有限的（也就是$I=(a,b]$，$a,b\in\mathbb{R}$）
• (ii) $a = -\infty$（即$I=(-\infty,b]$）
• (iii) $b = \infty$（即$I=(a,\infty)$）

我能理解$a,b$有限的情况，但完全搞不懂怎么处理$a=-\infty$或者$b=\infty$的情形。有没有大佬能给我这两种无穷端点的情况写个比书里更详细的证明呀？万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sam2018