单位圆形布料可围合的最大容积求解

嘿，这个问题挺有意思的——用一块**单位圆形（圆盘）**的布料，搭配针线缝起来做成能装豆子（或其他小物件）的容器，要求里面的东西不会漏出来，这容器的最大容积能有多大？

我的直观猜想 #

我一开始琢磨，最优的形状应该是把布料对折成双层半圆，然后沿着圆弧缝上一条极窄的密封边（有点像包了个边特别细的饺子），这样应该能围出一个可以装东西的立体空间。

数学上的初步分析 #

一个粗略的上界

有人可能会先做个不太严谨的假设：如果这块布料能完全无浪费、无拉伸地变成一个球面，那我们可以算出这个球面的体积作为上界。计算过程是这样的：
球面表面积公式是 4πr²，而布料的面积是单位圆的面积 π，所以解方程 4πr² = π 可得球面半径 r = 1/2，对应的球面体积就是 (4/3)πr³ = π/6 ≈ 0.524。不过这只是个上界，因为圆盘有边界，没法完全无重叠、无拉伸地转化成球面，实际能达到的容积肯定比这个小。

问题的难度与相关参考

我翻了不少相关的内容：比如方形布料如何围出最大容积的问题，还有《Profiles of inflated surfaces》这类研究充气曲面的文章，另外也看到了大家提到的“纸袋问题”。但专门针对单位圆盘布料的这个问题，好像还没看到现成的精确解结论。看起来这个问题其实挺有难度的，目前可能只能通过数学方法推导它的上下界，而没法直接算出精确的最大容积值。

物理验证的思路

如果不想纠结数学推导，其实可以用物理方法验证：按照我猜想的形状缝出容器，装满小豆子后倒进有刻度的容器里，就能测出实际的容积大小。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan