寻求将希尔伯特空间到商空间的有界线性算子提升为空间内有界线性算子的条件

别慌，这个问题在希尔伯特空间的框架下其实有很直接的答案——只要题目里给定的$\mathcal{T}$是有界线性算子（你已经提到它是well-defined的线性有界算子），就一定存在满足条件的有界算子$T:H\rightarrow H$，下面给你拆解具体的思路和构造方法：

• 先利用希尔伯特空间的核心特性：闭子空间的正交分解。因为$W$是$H$的闭子空间，所以$H$可以正交分解为 $H = W \oplus W^{\perp$，其中$W}\perp$是$W$的正交补。同时存在一个有界的正交投影算子 $P_{W^\perp}: H \rightarrow W^\perp$，它的算子范数为1，性质非常好。

• 商空间$H/W$和$W^\perp$是等距同构的：对每个等价类 $x+W \in H/W$，唯一对应$W^\perp$中的元素 $P_{W^\perp}x$。这个对应关系 $\phi: H/W \rightarrow W^\perp$ 是线性的、保范数的双射，也就是等距同构，自然也是有界算子（它的逆算子同样有界）。

• 构造满足要求的$T$：直接定义 $T = \phi \circ \mathcal{T}$。由于$\mathcal{T}$是有界线性算子，$\phi$也是有界线性算子，它们的复合$T$是从$H$到$W^\perp$（属于$H$的子空间）的有界线性算子，完全符合$T:H\rightarrow H$的要求。

• 验证条件：对任意$x \in H$，$T(x) = \phi(\mathcal{T}(x))$。根据$\phi$的定义，$\phi(y) \in W^\perp$且$\phi(y) + W = y$（$\phi$把等价类$y$映射到它在正交补中的唯一代表元）。因此商映射$q(T(x)) = T(x) + W = \phi(\mathcal{T}(x)) + W = \mathcal{T}(x)$，刚好满足 $q \circ T = \mathcal{T}$。

额外补充一句：如果是在一般的巴拿赫空间里，这种算子提升可能需要额外的条件（比如商映射存在有界右逆），但希尔伯特空间因为正交补的存在，直接保证了这种提升总是可行的，不需要额外添加条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者André