关于嵌入映射$H_s \subset C_0^k$的连续性证明求助
嘿，我来帮你梳理下这个问题的思路～首先咱们先明确几个基础细节，避免因为空间定义的差异走弯路：你提到的$C_0k$是指**紧支集$k$次连续可微函数的闭包（即无穷远处趋于0的$k$次连续可微函数空间）**吗？还有$H_s$是$\mathbb{R}n$上的分数阶Sobolev空间对吧？
既然已知$H_s \subset C_0^k$成立，现在要证嵌入的连续性——也就是找到常数$C>0$，使得对所有$f \in H_s$，都有$||f||{C_0^k} \leq C ||f||{H_s}$。我给你几个可行的方向：
1. 用傅里叶变换+Cauchy-Schwarz不等式直接估计范数
回忆一下，对于任意$|\alpha| \leq k$，$\partial^\alpha f$的一致范数可以通过傅里叶逆变换来估计：
$$|\partial^\alpha f(x)| = \left| (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i x \cdot \xi} (i\xi)^\alpha \hat{f}(\xi) d\xi \right| \leq (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{|\alpha|} |\hat{f}(\xi)| d\xi$$
接下来把积分拆成和$H_s$范数相关的形式，用Cauchy-Schwarz不等式：
$$\int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{|\alpha|} |\hat{f}(\xi)| d\xi = \int_{\mathbb{R}^n} \left( |\xi|^{|\alpha|} (1+|\xi|2){-s/2} \right) \cdot \left( (1+|\xi|2){s/2} |\hat{f}(\xi)| \right) d\xi$$
$$\leq \left( \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2|\alpha|} (1+|\xi|2){-s} d\xi \right)^{1/2} \cdot ||f||{H_s}$$
现在关键是这个积分$\int{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2|\alpha|} (1+|\xi|2){-s} d\xi$的收敛性：因为已知$H_s \subset C_0^k$，这个积分必然是收敛的（否则会存在$f \in H_s$使得$\partial^\alpha f$无界）。你可以计算一下这个积分收敛的条件，它其实对应着$s$和$|\alpha|、n$的关系——虽然你说没有经典的$s>k+n/2$，但可能你的$s$刚好满足这个积分收敛的临界条件？
2. 改进序列法的思路
你之前试过用序列法，那可以细化一下：假设$f_n \to 0$在$H_s$中，要证$f_n \to 0$在$C_0^k$中，也就是要同时证明两点：
- 对每个$|\alpha| \leq k$，$\partial^\alpha f_n$在$\mathbb{R}^n$上一致趋于0；
- 对每个$\epsilon>0$，存在$R>0$，当$|x|>R$时，$|\partial^\alpha f_n(x)| < \epsilon$对所有$n$成立（一致的无穷远衰减）。
对于第一点，用上面傅里叶变换的估计就能得到$\sup_x |\partial^\alpha f_n(x)| \leq C ||f_n||_{H_s}$，自然随$n$趋于0；对于第二点，你可以把傅里叶积分拆成$|\xi| \leq R_0$和$|\xi| > R_0$两部分，分别估计：
- 当$|\xi| > R_0$时，$(1+|\xi|2){-s/2}$很小，可以控制这部分积分的大小；
- 当$|\xi| \leq R_0$时，$e^{i x \cdot \xi}$在$|x|$很大时振荡，用黎曼-勒贝格引理就能证明这部分积分趋于0，而且是一致的。
3. 考虑分数阶Sobolev空间的等价刻画
如果你的$H_s$是用Bessel位势算子定义的（即$H_s = (I - \Delta)^{-s/2} L2(\mathbb{R}n)$），那可以利用位势算子的性质：$(I - \Delta){-s/2}$和偏导数$\partial\alpha$是可交换的（相差一个符号），然后估计$\partial^\alpha f = \partial^\alpha (I - \Delta)^{s/2} (I - \Delta)^{-s/2} f$的一致范数，把问题转化为估计$(I - \Delta)^{(s - |\alpha|)/2} g$的一致范数（其中$g=(I - \Delta)^{-s/2} f \in L^2$），这时候又能回到傅里叶变换的估计思路。
如果这些方向里有哪个你需要更细节的推导，或者你的空间定义有特殊之处，随时补充信息哦～
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Felipe
