赫歇尔-麦克斯韦正态分布推导相关技术疑问

咱们逐个拆解你的疑问哈：

第一个问题：为什么 $f(\sqrt{x^2+y2}) = f(x)f(y)$ 成立？ #

这其实是把你给出的两个核心性质直接结合的结果：

• 首先，性质1说概率密度只和到原点的距离有关，所以二维联合概率密度 $f(x,y)$ 可以写成关于极径 $r=\sqrt{x^2+y2}$ 的函数，也就是 $f(x,y)=f(\sqrt{x^2+y2})$（这里为了简化，把单变量的径向密度函数也用 $f$ 表示，本质是同一函数形式）。
• 然后，性质2说x和y坐标相互独立，根据独立随机变量的联合密度性质，二维联合密度等于两个边缘密度的乘积：$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。又因为分布是圆对称的，x和y的边缘分布完全一致，所以可以把边缘密度统一记为 $f$，即 $f_X(x)=f_Y(y)=f(t)$（t代表任意单变量）。

把这两个结论放在一起，自然就得到了 $f(\sqrt{x^2+y2}) = f(x)f(y)$ 啦。

第二个问题：为什么辅助函数h能推广到n个变量，即 $h(x_1+...+x_n) = h(x_1)...h(x_n)$？ #

这个是从二维结论一步步归纳出来的，核心还是“球对称+各维度独立”的性质可以推广到n维：

1. 先看二维情况，我们已经得到 $h(x^2+y2)=h(x^2)h(y2)$，如果令 $a=x^2$，$b=y2$，那就是 $h(a+b)=h(a)h(b)$——这是柯西函数方程的形式。
2. 推广到三维：假设第三个独立变量z，同样满足球对称（密度只和到原点的距离 $\sqrt{x^2+y2+z^2}$ 有关）且和x、y独立。那三维联合密度可写成 $f(\sqrt{x^2+y2+z^2})$，同时也等于 $f(x)f(y)f(z)$。
   对应到h函数：$h(x^2+y2+z^2)=f(\sqrt{x2+y^2+z2})=f(x)f(y)f(z)=h(x^2)h(y2)h(z^2)$，令 $x_1=x^2$，$x_2=y2$，$x_3=z^2$，就得到 $h(x_1+x_2+x_3)=h(x_1)h(x_2)h(x_3)$。
3. 以此类推，用数学归纳法就能推广到任意n个变量：假设对n-1个变量成立 $h(x_1+...+x_{n-1})=h(x_1)...h(x_{n-1})$，加入第n个变量后，$h(x_1+...+x_n)=h((x_1+...+x_{n-1})+x_n)=h(x_1+...+x_{n-1})h(x_n)=h(x_1)...h(x_n)$，完全成立。

这里和“圆的方程”是间接关系——本质是n维空间中的“球对称”（二维是圆，三维是球，n维是超球），加上各维度变量独立，才让这个叠加性质成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SirMrpirateroberts