无穷乘积形式的定积分求解求助

我已经纠结这个带无穷乘积的定积分好一阵子了：
$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0(1+\tan{x})(1+\tan}2x)(1+\tan^4x)(1+\tan8x)(1+\tan^{16}x)...dx$$

这是之前数学老师给的题目，从那之后我就一直卡在这里。我试了好多种换元法，甚至还尝试过分部积分（真心别试这个），但怎么都碰不到正确答案的边。我猜是不是有什么我没用到的三角恒等式能简化积分里的无穷乘积？或者有没有什么神奇的换元方法？

真的非常感谢任何能提供帮助的人！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sick Nutmeg