关于霍奇斯《A Shorter Model Theory》中习题1.2.3（同态）的求助

我最近在做霍奇斯《A Shorter Model Theory》里的一道同态相关习题，卡了好半天，想请教下大家思路。题目是这样的：

设$A$和$B$是$L$-结构，$X$是$\text{Dom}(A)$的子集，$f: \langle X \rangle_{A} \to B$和$g: \langle X \rangle_{A} \to B$是同态。证明：如果$f\mid_X = g\mid_X$，那么$f = g$。

目前我只有一些零散的想法：根据同态的定义，$f(x^A)=xB=g(x^A)$，但我清楚这还不能直接推出$f=g$；另外我也想到$f\circ g$和$g\circ f$都是同态。但我实在摸不着头绪，不知道该怎么利用“$f$和$g$在$X$上的限制相等”这个核心条件。我知道$\langle X \rangle_A$是$A$的子结构，但这是不是只意味着$f$在$\langle X \rangle_A$上的作用就是$f^A$限制在$\langle X \rangle_A$论域的$n$元组上？感觉自己肯定漏掉了某个关键的知识点或者角度，有没有大佬能给点提示或者思路？（麻烦不要直接给完整解答，我想自己再试试）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Integer Indexed