求解给定递推式的级数求和及其伽马函数闭形式证明问题

问题描述 #

已知初始条件 $\displaystyle a_0=\frac{1}{2}$，递推关系为 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-a_n}}{1+\sqrt{1-2a_n}}$，需要证明：
$$\sum_{n=0}^\infty2na_{n+1}\sqrt{a_n}=\frac{\Gamma^{2(\frac{1}{4})-4\cdot\Gamma}2(\frac{3}{4})}{8\sqrt{2\pi}}$$

提问者的尝试与困惑 #

我已经尝试了一些思路，但遇到了瓶颈：

• 尝试通过乘以 $1-\sqrt{1-2a_n}$ 有理化分母，但没有取得进展；
• 尝试用三角函数恒等式 $\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$（令 $x=\frac{\pi}{4}, \tan y=\sqrt{1-a_n}$），但被根号内的 $2a_n$ 项打断；
• 尝试令 $a_n=\sin^2\theta_n$，转化后得到 $\sin^2\theta_{n+1}=\frac{1-\cos\theta_n}{1+\sqrt{\cos2\theta_n}}$，但后续没有找到合适的方向。

解题提示与步骤 #

我给你几个可行的突破方向，你可以顺着往下探索：

1. 关键变量替换简化递推

推荐试试令 $a_n = \frac{1}{2}(1 - \cos u_n)$，这个替换能把递推式里的根号项大幅简化：

• 首先，$\sqrt{1-a_n} = \sqrt{\frac{1+\cos u_n}{2}} = \cos\frac{u_n}{2}$；
• $\sqrt{1-2a_n} = \sqrt{\cos u_n}$；
• 代入递推式后，$a_{n+1} = \frac{1 - \cos\frac{u_n}{2}}{1 + \sqrt{\cos u_n}}$，而 $a_{n+1} = \frac{1-\cos u_{n+1}}{2}$，因此可以推导出：
  $$\sin^2\frac{u_{n+1}}{2} = \tan^2\frac{u_n}{4}$$
  因为所有 $a_n$ 都是正数，直接取正号得到：$\sin\frac{u_{n+1}}{2} = \tan\frac{u_n}{4}$，这个递推式比原问题简洁很多，后续可以尝试用三角函数的恒等式继续化简，或者结合 $u_0 = \frac{\pi}{2}$（由 $a_0=\frac{1}{2}$ 推导而来）计算前几项找规律。

2. 望远镜级数思路

假设存在函数 $f(x)$，使得级数的通项可以表示为 $2^n a_{n+1}\sqrt{a_n} = 2^n f(a_n) - 2^{n+1}f(a_{n+1})$，这样求和时中间项会全部抵消，只剩下首尾项：
$$\sum_{n=0}^\infty2na_{n+1}\sqrt{a_n} = f(a_0) - \lim_{n\to\infty}2^n f(a_{n+1})$$
只要验证极限为0，就能得到结果。你可以尝试假设 $f(x)$ 的形式，比如 $f(x) = \sqrt{\frac{x}{1-2x}}$ 或者 $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-2x} - 1}$，代入递推式验证是否符合条件。

3. 结合伽马函数的积分表示

目标式里的伽马函数平方可以联系到Beta函数（$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}=\int_0^1 t^{p-1}(1-t){q-1}dt$），你可以尝试把级数的每一项转化为积分形式，再交换求和与积分的顺序，将级数求和转化为可计算的积分。

另外，你可以利用伽马函数的余元公式 $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ 化简目标式：$\Gamma(\frac{3}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{\Gamma(\frac{1}{4})}$，代入后目标式可以整理为只含 $\Gamma(\frac{1}{4})$ 的形式，方便后续验证结果是否一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathFail