关于雅可比θ函数积分有界性的证明问询

我们定义雅可比θ函数（对$t>0$）：
$$θ(t) := \sum_{n=-∞}^∞ e^{−πn2t}$$

待证问题 #

(a) 证明结论 #

对于所有$p>0$，积分 $\int_1^∞ |θ(t)−1|^p dt$ 是有限的。

(b) 证明结论 #

当$0<p<2$时，存在常数$C_p$，使得 $\int_0^1 |θ(t)|^p dt ≤ C_p$。

我的思路与困惑 #

我感觉应该用到θ函数的对称性来处理这两个问题，但不知道具体该怎么应用这个性质。
针对问题(a)，我已经推导得到这个积分可以转化为 $\int_0^{1(|θ(1/t)−1|}p t^{-2}) dt$，但接下来没办法找到合适的可积函数来做界的估计，卡住了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者백지승