关于含独立同分布Z_j的随机变量序列X_n在Wasserstein度量下的收敛极限问题

嘿，咱们来一步步搞定这个问题！你已经把$Z_j=1$的情况分析得很清楚了，现在把$Z_j$加进来其实就是多了一层独立的随机缩放，咱们从Wasserstein收敛的两个核心条件——二阶矩收敛和依分布收敛入手，慢慢拆解。

首先再明确下Wasserstein收敛的定义：咱们说$X_n$依Wasserstein意义收敛到$X$，等价于同时满足：

• 二阶矩收敛：$\mathbb{E}[X_n^2] \to \mathbb{E}[X^2]$ 当$n\to\infty$
• 依分布收敛：$X_n \Rightarrow X$ 当$n\to\infty$

第一步：计算一般情况的特征函数（分析依分布收敛） #

你已经写出了$X_n$的特征函数起点：
$$
\varphi_{X_n}(t) = \prod_{j=1}^n \mathbb{E}\left[ e^{i t W_j U_{j,n} Z_j} \right]
$$
咱们把期望拆开来——因为$U_{j,n}$和$Z_j$独立，且对每个固定的$n$，$W_j$是确定的遍历序列（咱们在几乎必然意义下分析），所以可以用条件期望拆分：
$$
\mathbb{E}\left[ e^{i t W_j U_{j,n} Z_j} \right] = \mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left[ e^{i t W_j U_{j,n} Z_j} \mid U_{j,n} \right] \right]
$$
当$U_{j,n}=0$时，内层期望就是$1$；当$U_{j,n}=1$时，内层期望就是$\varphi_{Z_1}(t W_j)$（因为$Z_j$独立同分布，特征函数都是$\varphi_{Z_1}$）。结合$U_{j,n}\sim\text{Bernoulli}(\lambda/n)$的分布，咱们可以得到：
$$
\mathbb{E}\left[ e^{i t W_j U_{j,n} Z_j} \right] = \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right) \cdot 1 + \frac{\lambda}{n} \cdot \varphi_{Z_1}(t W_j)
$$
整理成更方便处理的形式：
$$
\mathbb{E}\left[ e^{i t W_j U_{j,n} Z_j} \right] = 1 + \frac{\lambda}{n} \left( \varphi_{Z_1}(t W_j) - 1 \right)
$$

接下来取对数，利用小量近似$\log(1+x) \approx x + o(x)$（当$n\to\infty$时，$\frac{\lambda}{n}(\varphi_{Z_1}(t W_j)-1)$是小量，高阶项可以忽略）：
$$
\log \varphi_{X_n}(t) = \sum_{j=1}^n \log\left(1 + \frac{\lambda}{n} \left( \varphi_{Z_1}(t W_j) - 1 \right) \right) \approx \frac{\lambda}{n} \sum_{j=1}^n \left( \varphi_{Z_1}(t W_j) - 1 \right)
$$

现在用遍历性条件（公式(E)）：令$f(w) = \varphi_{Z_1}(t w) - 1$，因为特征函数模长不超过1，$f(w)$是有界函数，满足遍历定理的要求，所以：
$$
\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( \varphi_{Z_1}(t W_j) - 1 \right) \overset{a.s.}{\longrightarrow} \mathbb{E}\left[ \varphi_{Z_1}(t W_1) - 1 \right]
$$

对两边取指数，就能得到特征函数的几乎必然极限：
$$
\varphi_{X_n}(t) \overset{a.s.}{\longrightarrow} \exp\left{ \lambda \left( \mathbb{E}\left[ \varphi_{Z_1}(t W_1) \right] - 1 \right) \right}
$$

解读特征函数的极限 #

回忆复合泊松分布的特征函数：如果$X = \sum_{k=1}^N Y_k$，其中$N\sim\text{Poisson}(\lambda)$，$Y_k$独立同分布且与$N$独立，那么$X$的特征函数是$\exp\left{ \lambda \left( \varphi_{Y_1}(t) - 1 \right) \right}$。

对比咱们得到的极限，$\mathbb{E}\left[ \varphi_{Z_1}(t W_1) \right]$其实就是$\varphi_{W_1 Z_1'}(t)$（$Z_1'$是$Z_1$的独立副本，与$W_1$独立）。所以这个极限对应的是复合泊松分布：
$$
X = \sum_{k=1}^N (W_{k,1} Z_{k,1})
$$
其中：

• $N$服从参数为$\lambda$的泊松分布，
• ${(W_{k,1}, Z_{k,1})}$是$(W_1, Z_1)$的独立副本，
• $N$与${(W_{k,1}, Z_{k,1})}$相互独立。

第二步：验证二阶矩收敛（Wasserstein收敛的第二个条件） #

你已经推导了部分二阶矩的结果，咱们补全一般情况：
$$
\mathbb{E}[X_n^2] = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j=1}^n W_j U_{j,n} Z_j \right)^2 \right]
$$
因为交叉项的期望为0（$U_{j,n}Z_j$独立，且$\mathbb{E}[U_{j,n}Z_j] = \mathbb{E}[U_{j,n}]\mathbb{E}[Z_j] = 0$），所以：
$$
\mathbb{E}[X_n^2] = \sum_{j=1}^n W_j^2 \mathbb{E}[U_{j,n}^2 Z_j^2]
$$
注意伯努利变量的平方等于自身（$U_{j,n}^2 = U_{j,n}$），所以：
$$
\mathbb{E}[U_{j,n}^2 Z_j^2] = \mathbb{E}[U_{j,n}] \mathbb{E}[Z_j^2] = \frac{\lambda}{n} \sigma^2
$$
代入后得到：
$$
\mathbb{E}[X_n^2] = \sigma^2 \lambda \cdot \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n W_j^2
$$

再用遍历性条件（令$f(w)=w^2$）：
$$
\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n W_j^2 \overset{a.s.}{\longrightarrow} \mathbb{E}[W_1^2]
$$
所以$\mathbb{E}[X_n^2] \overset{a.s.}{\longrightarrow} \sigma^2 \lambda \mathbb{E}[W_1^2]$。

现在看极限$X = \sum_{k=1}^N (W_{k,1} Z_{k,1})$的二阶矩：
$$
\mathbb{E}[X^2] = \mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{k=1}^N W_{k,1} Z_{k,1} \right)^2 \mid N \right] \right] = \mathbb{E}\left[ N \mathbb{E}[W_1^2 Z_1^2] \right]
$$
因为$\mathbb{E}[N]=\lambda$，且$\mathbb{E}[W_1^2 Z_1^2] = \mathbb{E}[W_1^2] \mathbb{E}[Z_1^2] = \sigma^2 \mathbb{E}[W_1^2]$，所以：
$$
\mathbb{E}[X^2] = \lambda \cdot \sigma^2 \mathbb{E}[W_1^2]
$$
正好和$\mathbb{E}[X_n^2]$的极限一致，满足Wasserstein收敛的二阶矩条件。

结论 #

结合特征函数的极限（依分布收敛）和二阶矩的收敛，$X_n$依Wasserstein意义几乎必然收敛到复合泊松分布$X = \sum_{k=1}^N (W_{k,1} Z_{k,1})$，其中：

• $N\sim\text{Poisson}(\lambda)$，
• ${(W_{k,1}, Z_{k,1})}$是$(W_1, Z_1)$的独立副本，且与$N$相互独立。

补充特殊情况说明 #

• 如果$Z_j \sim N(0, \sigma^2)$，$\varphi_{Z_1}(s) = e^{-\sigma2 s^2/2}$，代入极限特征函数就是$\exp\left{ \lambda \left( \mathbb{E}\left[ e^{-\sigma2 (t W_1)^2 / 2} \right] - 1 \right) \right}$，对应上述复合泊松分布，每个跳跃项是正态变量与$W_{k,1}$的乘积。
• 如果$Z_j \sim t_\nu$（$\nu>2$），因为$\nu>2$保证二阶矩存在（$\mathbb{E}[Z_j^2] = \frac{\nu}{\nu-2}\sigma^{2$，可根据你的定义调整$\sigma}2$），结论同样成立，极限还是复合泊松分布，跳跃项是$t$分布变量与$W_{k,1}$的乘积。

你之前猜测的$\sigma^{2$相关形式，其实是当$Z$为常数时的特例（比如$Z_j=\sigma$，此时$X=\sigma\sum_{k=1}}N W_{k,1}$，$N\sim\text{Poisson}(\lambda)$，二阶矩与咱们的结果一致）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MAOC