关于Dummit&Foote《抽象代数》中交错群$A_n$简单性证明的疑问

嘿，我明白你的困惑了——你举的例子看起来好像直接推翻了作者的断言，但其实问题出在你忽略了这个断言成立的关键前提！

作者的这个结论是建立在前面已经证明的核心性质之上的：如果$H \unlhd G=A_n$（$n\geq5$），那么$H$中的所有非单位元都没有不动点（也就是你提到的，非单位元的循环分解里不存在1-循环）。

我们来拆解你的例子：你选了$\tau_1=(1\ 2)(3\ 4\ 5\ 6)$和$\tau_2=(1\ 2\ 3)(4\ 5\ 6)$，这两个元素本身确实都没有不动点，但问题是——它们不可能同时属于满足上述性质的正规子群$H$！

我们计算一下$\tau_2^{{-1}\tau_1$：$\tau_2}{-1}=(1\ 3\ 2)(4\ 6\ 5)$，因此：
$$\tau_2^{-1}\tau_1 = (1\ 3\ 2)(4\ 6\ 5)(1\ 2)(3\ 4\ 5\ 6)$$
观察这个置换对元素1的作用：$\tau_1(1)=2$，接着$\tau_2^{{-1}(2)=1$，所以$\tau_2}{-1}\tau_1(1)=1$——也就是说这个元素有一个不动点1！

但根据$H$的正规性，$\tau_2^{{-1}\tau_1$必然属于$H$（正规子群对乘法和逆运算封闭），而$H$里的非单位元都不能有不动点，所以$\tau_2}{-1}\tau_1$只能是单位元，即$\tau_1=\tau_2$。但你的例子里$\tau_1\neq\tau_2$，这就意味着这两个元素不可能同时在$H$里——这恰恰反过来印证了作者的断言是正确的，而非错误！

再梳理下作者的逻辑链：

假设$H$满足“非单位元无不动点”，若$\tau_1,\tau_2\in H$且$\tau_1(i)=\tau_2(i)$，则$\tau_2^{{-1}\tau_1(i)=i$。如果$\tau_2}{-1}\tau_1$不是单位元，那它就存在一个不动点$i$，这与$H$的性质矛盾，因此只能$\tau_2^{-1}\tau_1=1$，即$\tau_1=\tau_2$。

你误解的核心是，你随意选取了两个无不动点的元素，但没有考虑它们是否能共存于满足前提的$H$中——而实际上，根据$H$的性质，这样的两个元素是无法同时在$H$里的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Quay Chern