关于张量积证明中代数同态像交换性及诱导同态存在性的疑问

嘿，我来给你拆解一下这两个关键点，应该就能打通思路啦！

首先说第一个问题：为什么两个同态的像会交换

先明确这两个同态具体是什么：

• 第一个同态是把$M_n(F)$里的矩阵$M$直接映射到$M_n(A)$里的同一个$M$——这里要注意，$M$的元素原本是$F$中的元素，而因为$A$是有限维幺元$F$-代数，$F$可以自然嵌入到$A$里（把$F$中的元素$c$映成$c\cdot 1_A$，其中$1_A$是$A$的幺元），所以这个$M$放到$M_n(A)$里就是元素都在$F\subseteq A$中的矩阵。
• 第二个同态是把$A$中的元素$a$映射到$M_n(A)$里的纯量矩阵$aI_n$，也就是对角线上全是$a$、其余位置都是$0$的$n$阶矩阵。

现在我们随便取第一个像里的元素$M=(m_{ij})\in M_n(A)$（每个$m_{ij}\in F$），第二个像里的元素$aI_n$（$a\in A$），计算它们的乘积：

• $M \cdot (aI_n)$的第$i$行第$j$列元素是$\sum_{k=1}^n m_{ik} \cdot (a\delta_{kj})$，其中$\delta_{kj}$是克罗内克函数（$k=j$时为1，否则为0），所以这个和化简后就是$m_{ij} \cdot a$。
• $(aI_n) \cdot M$的第$i$行第$j$列元素是$\sum_{k=1}^n (a\delta_{ik}) \cdot m_{kj}$，化简后就是$a \cdot m_{ij}$。

而因为$A$是$F$-代数，$F$中的元素和$A$中的元素相乘是交换的（$m_{ij}\in F$，$a\in A$，所以$m_{ij}\cdot a = a\cdot m_{ij}$），所以这两个乘积的每个对应元素都相等，也就是说$M \cdot (aI_n) = (aI_n) \cdot M$。这样一来，两个同态的像里的任意元素相乘都交换，就满足“像交换”的条件啦。

接下来是第二个问题：为什么像交换就能诱导出那个唯一的同态$\phi$

这里核心是用到张量积的泛性质，这是张量积最本质的性质之一！对于$F$-代数的张量积来说，它的泛性质可以这么理解：

假设我们有任意一个$F$-代数$B$，还有两个$F$-代数同态$f: M_n(F)\to B$和$g:A\to B$，如果$f$的像和$g$的像在$B$里是交换的（也就是对任意$x\in M_n(F)$、$y\in A$，都有$f(x)g(y)=g(y)f(x)$），那么必然存在唯一的$F$-代数同态$\phi: M_n(F)\otimes_F A \to B$，使得对所有$x\in M_n(F)$、$y\in A$，都有$\phi(x\otimes y)=f(x)g(y)$。

回到我们的问题里：

• 这里的$B$就是$M_n(A)$；
• $f$就是前面说的第一个同态：$f(M)=M$（把$M_n(F)$的矩阵送到$M_n(A)$里的同矩阵）；
• $g$就是第二个同态：$g(a)=aI_n$（把$A$的元素送到$M_n(A)$里的纯量矩阵）。

我们刚刚已经证明了$f$的像和$g$的像满足交换条件，完全符合泛性质的要求，所以自然就存在唯一的$F$-代数同态$\phi$，满足$\phi(M\otimes a)=f(M)g(a)=M\cdot(aI_n)$。又因为我们已经知道$M$和$aI_n$交换，所以$M\cdot(aI_n)=aI_n\cdot M=aM$（这里的$aM$就是把矩阵$M$的每个元素都乘以$a$得到的$M_n(A)$中的矩阵），这就是证明里给出的$\phi(M\otimes a)=aM$啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jack Meow Meow